MathProf - Kegelschnitte - Polar - Polarkoordinaten - Polarform - Rechner

Modul Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv ermöglicht die interaktive Untersuchung von Kegelschnitten, welche durch Gleichungen in Polarkoordinaten beschrieben werden.

 

 

In diesem Modul können Kegelschnitte dieser Art an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) interaktiv untersucht werden. Es sind dies:
 

• Ellipse (mit Pol im Mittelpunkt, Pol im linken Brennpunkt oder Pol im rechten Brennpunkt)
• Hyperbel (mit Pol im Mittelpunkt, Pol im linken Brennpunkt oder Pol im rechten Brennpunkt)
• Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung (mit Pol im Scheitelpunkt oder Pol im Brennpunkt)

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
 

• Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
• Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
• Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
• Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
• Asymptoten (bei Hyperbeln)
• Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
• Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.

   
Hyperbel:
 
Pol im Mittelpunkt:

 
Pol im linken Brennpunkt:

 
Pol im rechten Brennpunkt:

 
mit:
 


 
Ellipse:
 
Pol im Mittelpunkt:

 
Pol im linken Brennpunkt:

 
Pol im rechten Brennpunkt:

 
mit:
 

 

 
Parabel:
 


 
Weitere mathematische Gleichungen zu Kegelschnitten finden Sie unter Kegelschnitte.
 
Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte, welche durch Gleichungen in Polarkoordinaten beschrieben werden.

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Gleichungen der Asymptoten
• Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Fläche und Umfang der Ellipse
• Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkt
• Brennpunkt
• Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

 
Untersuchungen mit Kegelschnitten, welche durch Gleichungen in Polarkoordinaten beschrieben werden, können Sie interaktiv durchführen, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des relevanten Kontrollschalters (Ellipse, Parabel,  Hyperbel) auf dem Bedienformular, die Art des Kegelschnitts mit dem Sie eine Analyse durchführen möchten.
    
2. Legen Sie durch die Fokussierung des entsprechenden Kontrollschalters fest, mit welcher Art der Kegelschnittgleichung Untersuchungen durchgeführt werden sollen. Bei Ellipse und Hyperbel sind dies: Pol in MP (Pol im Mittelpunkt), Pol in li. Brennp. (Pol im linken Brennpunkt) bzw. Pol in re. Brennp. (Pol im rechten Brennpunkt). Bei einer Parabel sind dies: Pol in Scheitelp. (Pol im Scheitelpunkt) oder Pol in Brennp. (Pol im Brennpunkt).
    
3. Verändern Sie, durch die Positionierung der zur Verfügung stehenden Rollbalken, die Werte der Koeffizienten b, 2p und e der Gleichung.
    
4. Möchten Sie die Koordinatenwerte der zu untersuchenden Stelle exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
5. Um die Position der zu untersuchenden Stelle mit der zu Maus verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
6. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Kontur hervorheben: Linienstärke des Kegelschnitts normal/fett
• Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
• Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
• Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
• Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
• Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
• Det. Eigenschaften: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten

Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.
 

• Subtang. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
• Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Untersuchungsbereichsmarkierung (vert. Linie) ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Kegelschnitte in Mittelpunktlage
Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv
Kegelschnitte in achsparalleler Lage
Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv
Kegelschnitte in Scheitellage
Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv
Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten
Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv
Kegelschnitte - Punkt
Kegelschnitte - Gerade
 
Beispiel 1 - Ellipse mit Pol im rechten Brennpunkt:

Eine Ellipse mit Pol im rechten Brennpunkt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:



Es sind die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, als auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 1 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Aktivieren Sie die Kontrollschalter Ellipse, sowie Pol in li. Brennp. Positionieren Sie daraufhin den Rollbalken p auf den Wert a = 4, sowie Rollbalken e auf den Wert e = 0,7, so stellt das Programm eine Ellipse dar, welche durch o.a. Gleichung beschrieben wird und deren Brennpunkt F1 auf der y-Achse liegt.
 
Führen Sie daraufhin einen Klick auf den Schalter Punkt aus und geben Sie für den Abszissenwert, an welchem die Ellipse untersucht werden soll, die Punktkoordinaten P (1 / 10) ein. Bestätigen Sie mit Ok. Das Programm gibt hierauf nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:
 
Gleichung dieses Kegelschnitts in Hauptform: (X-5,49)²/(7,843)² + Y²/(5,601)² = 1

Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Halbachse a: 7,843
Halbachse b: 5,601
Parameter 2p: 8
Lin. Exzentrizität e: 5,49
Num. Exzentrizität eta: 0,7

Scheitelpunkt 1: A (-2,353 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (13,333 / 0)
Scheitelpunkt 3: C (5,49 / 5,601)
Scheitelpunkt 4: D (5,49 / -5,601)
Mittelpunkt: M (5,49 / 0)
 
Brennpunkt 1: F1 (0 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (10,98 / 0)
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 1 rechtsseitig ausgegeben:
 
Punkt 1: TP1 (1 / 4,592)
Punkt 2: TP2 (1 / -4,592)

Tangente 1: Y = 0,499·X+4,094
Tangente 2: Y = -0,499·X-4,094
Tangentenlänge TP1-V: 10,291
Subtangentenlänge R-V: 9,21

Normale 1: Y = -2,005·X+6,598
Normale 2: Y = 2,005·X-6,598
Normalenlänge TP1-T: 5,132
Subnormalenlänge R-T: 2,29
 
Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 10,986
Länge Brennstrahl TP1-F2: 4,7
 
Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (4,769 / -2,966)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 8,446
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (4,769 / 2,966)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 8,446

Beispiel 2 - Hyperbel mit Pol im Mittelpunkt:

Eine Hyperbel mit Pol im Mittelpunkt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:



Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 5 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Aktivieren Sie die Kontrollschalter Hyperbel sowie Pol in MP. Positionieren Sie daraufhin Rollbalken b auf den Wert b = 7 und Rollbalken e auf den Wert e = 2, so stellt das Programm eine Hyperbel dar, welche durch o.a. Gleichung beschrieben wird und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
 
Führen Sie daraufhin einen Klick auf den Schalter Punkt aus und geben Sie für den Abszissenwert, an welchem die Hyperbel untersucht werden soll, die Punktkoordinaten P (5 / 10) ein. Bestätigen Sie mit Ok. Das Programm gibt hierauf nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:
 
Gleichung dieses Kegelschnitts in Hauptform: (X)²/(4,041)² - Y²/(7)² = 1

Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Halbachse a: 4,041
Halbachse b: 7
Parameter 2p: 24,249
Lin. Exzentrizität e: 8,083
Num. Exzentrizität eta: 2

Scheitelpunkt 1: A (-4,041 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (4,041 / 0)
Mittelpunkt: M (0 / 0)
 
Brennpunkt 1: F1 (-8,083 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (8,083 / 0)
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Asymptoten gibt das Programm aus:
 
Asymptote 1: Y = 1,732·X
Asymptote 2: Y = -1,732·X
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 5 rechtsseitig ausgegeben:
 
Punkt 1: TP1 (5 / 5,099)
Punkt 2: TP2 (5 / -5,099)

Tangente 1: Y = 2,942·X-9,61
Tangente 2: Y = -2,942·X+9,61
Tangentenlänge TP1-V: 5,386
Subtangentenlänge R-V: 1,733

Normale 1: Y = -0,34·X+6,799
Normale 2: Y = 0,34·X-6,799
Normalenlänge TP1-T: 15,843
Subnormalenlänge R-T: 15
 
Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 5,959
Länge Brennstrahl TP1-F2: 14,042
 
Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (30,612 / -3,607)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 27,052
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (30,612 / 3,607)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 27,052

Beispiel 3 - Parabel mit Pol im Scheitelpunkt:

Eine Parabel mit Pol im Scheitelpunkt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:



Es sind die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts und dessen Eigenschaften an Stelle x = 7 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Aktivieren Sie die Kontrollschalter Parabel sowie Pol in MP. Positionieren Sie daraufhin Rollbalken 2p auf den Wert 2, so stellt das Programm eine Parabel dar, welche durch o.a. Gleichung beschrieben wird und deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
 
Führen Sie daher einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Abszissenwert, an welchem die Parabel untersucht werden soll, die Punktkoordinaten P (7 / 10) ein. Bestätigen Sie mit Ok. Das Programm ermittelt hierauf nachfolgend aufgeführte Ergebnisse:
 
Gleichung dieses Kegelschnitts in Hauptform: Y² = 2·X

Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Parameter 2p: 2
Scheitelpunkt: S (0 / 8)
Brennpunkt: F (0,5 / 0)
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 7 angezeigt:
 
Punkt 1: TP1 (7 / 3,742)
Punkt 2: TP2 (7 / -3,742)
 
Tangente 1: Y = 0,267·X+1,871
Tangente 2: Y = -0,267·X-1,871
Tangentenlänge TP1-V: 14,491
Subtangentenlänge R-V: 14

Normale 1: Y = -3,742·X+29,933
Normale 2: Y = 3,742·X-29,933
Normalenlänge TP1-T: 3,873
Subnormalenlänge R-T: 1
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F: 7,5
 
Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt Krümmungskreis 1: MP1 (22 / -52,383)
Radius Krümmungskreis 1: r1 = 58,095
Mittelpunkt Krümmungskreis 2: MP2 (22 / 52,383)
Radius Krümmungskreis 2: r2 = 58,095
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Sehnenviereck - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Malfatti-Kreise - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv - Brennpunkte - Brennstrahlen - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper  - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Koordinatensysteme - Kugeldreieck (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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