MathProf - Kegelschnitt - Kegelschnitte - Gleichung - Parameter

Modul Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv ermöglicht die interaktive Untersuchung von Kegelschnitten in achsparalleler Lage, welche in Parameterform beschrieben werden.

 

 

Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird, der Mittelpunkt des Kegelschnitts nicht im Koordinatenursprung liegt und dessen Hauptachsen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems ausgerichtet sind.

In diesem Modul können Kegelschnitte die in Parameterform beschrieben werden, an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) interaktiv untersucht werden. Es sind dies:
 

• Ellipse
• Hyperbel
• Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
 

• Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
• Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
• Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
• Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
• Asymptoten (bei Hyperbeln)
• Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
• Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.

 
Gleichungen der Kegelschnitte in achsparalleler Lage in Parameterform:

Hyperbel:



 
Ellipse:
 



Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):



 
Details, sowie mathematische Gleichungen zu Kegelschnitten, finden Sie unter Kegelschnitte.
 
Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in achsparalleler Lage:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Gleichungen der Asymptoten
• Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Fläche und Umfang der Ellipse
• Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkt
• Brennpunkt
• Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

 
Untersuchungen mit Kegelschnitten in achsparalleler Lage, welche in Parameterform beschrieben werden, können Sie
durchführen, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des dafür zur Verfügung stehenden Kontrollschalters (Ellipse, Parabel, Hyperbel) auf dem Bedienformular die Art des Kegelschnitts, mit dem Sie eine Analyse durchführen möchten.
    
2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder der zu untersuchenden Stelle, exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Position eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder der zu untersuchenden Stelle mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste (Bei einigen Punkten ist Bewegung nur nach links oder nur nach rechts, bzw. nur nach oben oder nur nach unten möglich).
    
4. Die Koeffizienten a und b der Kegelschnittgleichung legen Sie durch die Positionierung der zur Verfügung stehenden Rollbalken mit den Bezeichnungen a und b fest.
    
5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Kontur hervorheben: Linienstärke des Kegelschnitts normal/fett
• Krümmungskreise: Darstellung der Krümmungskreise an U-Stelle ein-/ausschalten
• Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
• Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
• Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
• Hauptkreis: Darstellung des Hauptkreises (bei Hyperbeln) ein-/ausschalten
• Haupt- / Nebenkreis: Darstellung des Haupt- und Nebenkreises (bei Ellipsen) ein-/ausschalten
• Eigensch.-Det.: Ausgabe detaillierter Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle ein-/ausschalten

Durch die Auswahl des entsprechenden Eintrags aus der aufklappbaren Auswahlbox können Festlegungen getroffen werden bzgl. der Darstellung von Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen.
 

• Subtang. und Subnorm.: Darstellung der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Tangenten und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Alle Tang. und Normalen: Gemeinsame Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle einschalten
• Keine Tang. und Normalen: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten
• Keine Untersuchung: Darstellung der Tangenten und Normalen, sowie der Subtangenten und Subnormalen des Kegelschnitts an U-Stelle ausschalten und Untersuchungsbereichsmarkierung (vert. Linie) ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Kegelschnitte in Mittelpunktlage
Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv
Kegelschnitte in achsparalleler Lage
Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv
Kegelschnitte in Scheitellage
Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv
Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten
Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv
Kegelschnitte - Punkt
Kegelschnitte - Gerade
 
Beispiel 1 - Ellipse in achsparalleler Lage:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

X = 5·COS(K)+6
Y = 3·SIN(K)+2
 
Es gilt, sowohl die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, als auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 9 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ellipse. Legen Sie die Halbachsen a und b der Ellipse durch eine Positionierung des Rollbalkens a auf den Wert 5, sowie eine Positionierung des Rollbalkens b auf den Wert 3 fest.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, geben Sie die Koordinatenwerte des Mittelpunkts M (6 / 2) der Ellipse ein und definieren Sie die Untersuchungsstelle durch die Eingabe der Koordinatenwerte für Punkt P (9 / 10). Bestätigen Sie mit Ok.

Für die Hauptform der Kegelschnittgleichung ermittelt das Programm die Gleichung:



Ferner gibt es nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 5
Halbachse b: 3
Parameter 2p: 3,6
Lin. Exzentrizität e: 4
Num. Exzentrizität eta: 0,8

Scheitelpunkt 1: A (1 / 2)
Scheitelpunkt 2: B (11 / 2)
Scheitelpunkt 3: C (6 / 5)
Scheitelpunkt 4: D (6 / -1)

Mittelpunkt: M (6 / 2)

Brennpunkt 1: F1 (2 / 2)
Brennpunkt 2: F2 (10 / 2)
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 9 rechtsseitig ausgegeben:

Punkt 1: TP1 (9 / 4,4)
Punkt 2: TP2 (9 / -0,4)

Tangente 1: Y = -0,45·X+8,45
Tangente 2: Y = 0,45·X-4,45
Tangentenlänge TP1-V: 5,848
Subtangentenlänge R-V: 5,333

Normale 1: Y = 2,222·X-15,6
Normale 2: Y = -2,222·X+19,6
Normalenlänge TP1-T: 2,632
Subnormalenlänge R-T: 1,09
 
Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 7,4
Länge Brennstrahl TP1-F2: 2,6
 
Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (6,691 / -0,731)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 5,626
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2 (6,691 / 4,731)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 5,626

Beispiel 2 - Hyperbel in achsparalleler Lage:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

X = ±5·COSH(K)+4
Y = 4·SINH(K)+1
 
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = -4 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Hyperbel. Legen Sie die Halbachsen a und b der Hyperbel durch eine Positionierung des Rollbalkens a auf den Wert 5, sowie eine Positionierung des Rollbalkens b auf den Wert 4 fest.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, geben Sie die Koordinatenwerte des Mittelpunkts M (4 / 1) der Hyperbel ein und definieren Sie die Untersuchungsstelle durch die Eingabe der Koordinatenwerte für Punkt P (-4 / 10). Bestätigen Sie mit Ok.

Für die Hauptform der Kegelschnittgleichung ermittelt das Programm die Gleichung:



Außerdem gibt es nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 5
Halbachse b: 4
Parameter 2p: 6,4
Lin. Exzentrizität e: 6,403
Num. Exzentrizität eta: 1,281

Scheitelpunkt 1: A (-1 / 1)
Scheitelpunkt 2: B (9 / 1)

Mittelpunkt: M (4 / 1)

Brennpunkt 1: F1 (-2,403 / 1)
Brennpunkt 2: F2 (10,403 / 1)
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Asymptoten gibt das Programm aus:
 
Asymptote 1: Y = 0,8·(X-4)+1
Asymptote 2: Y = -0,8·(X-4)+1
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -4 angezeigt:

Punkt 1: TP1 (-4 / 5,996)
Punkt 2: TP2 (-4 / -3,996)

Tangente 1: Y = -1,025·X+1,897
Tangente 2: Y = 1,025·X+0,103
Tangentenlänge TP1-V: 6,98
Subtangentenlänge R-V: 4,875

Normale 1: Y = 0,976·X+9,899
Normale 2: Y = -0,976·X-7,899
Normalenlänge TP1-T: 7,154
Subnormalenlänge R-T: 5,12
 
Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F1: 5,245
Länge Brennstrahl TP1-F2: 15,245
 
Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (-29,587 / -18,972)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 35,75
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2 (-29,587 / 20,972)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 35,75
 
Beispiel 3 - Parabel in achsparalleler Lage:

Eine Parabel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

X = -3·K²-1
Y = ±3·K+2
 
Es sind die allgemeinen Eigenschaften des Kegelschnitts, sowie dessen Eigenschaften an Stelle x = -5 ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Parabel. Legen Sie den Parameter 2p der Parabel durch eine Positionierung des Rollbalkens a auf den Wert 3 fest.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus, geben Sie die Koordinatenwerte des Scheitelpunkts S (-1 / 2) der Parabel ein und definieren Sie die Untersuchungsstelle durch die Eingabe der Koordinatenwerte für Punkt P (-5 / 10). Bestätigen Sie mit Ok.
Für die Hauptform der Kegelschnittgleichung ermittelt das Programm die Gleichung:

(Y-2)² = -3·(X+1)

Ferner gibt es nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

Parameter 2p = 3
Scheitelpunkt: S (-1 / 2)
Brennpunkt: F (-1,75 / 2)
 
Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Eigensch.-Det. wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = -5 angezeigt:

Punkt 1: TP1 (-5 / 5,464)
Punkt 2: TP2 (-5 / -1,464)

Tangente 1: Y = -0,433·X+3,299
Tangente 2: Y = 0,433·X+0,701
Tangentenlänge TP1-V: 8,718
Subtangentenlänge R-V: 8

Normale 1: Y = 2,309·X+17,011
Normale 2: Y = -2,309·X-13,011
Normalenlänge TP1-T: 3,775
Subnormalenlänge R-T: 1,5
 
Bei Aktivierung des Kontrollkästchens Brennstrahlen wird ausgegeben:

Länge Brennstrahl TP1-F: 4,75
 
Wird das Kontrollkästchen Krümmungskreise aktiviert, so ermittelt das Programm:

Mittelpunkt des Krümmungskreises 1: MP1 (-14,5 / -16,475)
Radius des Krümmungskreises 1: r1 = 23,908
Mittelpunkt des Krümmungskreises 2: MP2  (-14,5 / 20,475)
Radius des Krümmungskreises 2: r2 = 23,908
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Sehnenviereck - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Malfatti-Kreise - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv - Brennpunkte - Brennstrahlen - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper  - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Koordinatensysteme - Kugeldreieck (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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