MathProf - Kardioide - Herzkurve - Fläche - Flächeninhalt - Bogenlänge

 

Modul Kardioide

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Das kleine Unterprogramm [Analysis] - [Zykloiden] - Kardioide ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Kurven, welche als Kardioide bezeichnet werden.

 

Eine Kardioide (Herzkurve) entsteht als herzförmige Bahn eines Punktes der mit einem Kreis vom Radius r im Abstand a = r vom Mittelpunkt fest verbunden ist, wenn der Kreis ohne zu gleiten, auf der Außenseite eines zweiten Kreises abrollt. Kardioide sind Sonderformen von Epizykloiden.

Die Parameterdarstellung gewöhnlicher Epizykloiden lautet:

x(t) = (a+b)·cos(t) - b·cos((a+b)/b·t)
y(t) = (a+b)·sin(t) - b·sin((a+b)/b·t)
 
a = R: Radius des äußeren Kreises
b = r: Radius der inneren Kreises
t: Wälzwinkel (in Bogenmaß)

Kardioide sind Epizykloiden für welche gilt: a = b
Sie können zudem in folgenden Formen beschrieben werden:
 
Kartesisch:
 
(x²+y²-a²)²-4a²((x-a)²+y²) = 0
 
In Parameterform:
 
x = a·(2cos(t)-cos(2t))
y = a·(2sin(t)-sin(2t))
 
mit 0 £= t £ 2p ; a > 0
 
Der Schwerpunkt einer Kurve dieser Art befindet sich in: S (-2/3a | 0)
Die Fläche unter der Kurve beträgt: A = 6pa³
Länge der Kurve: l = 16a
Die Extremwerte einer Kurve dieser Art befinden sich in: P_E (-a/2 | ±3/2aÖ3)
 
Sachverhalte zu diesem Thema können Sie mit Hilfe dieses Unterprogramms analysieren.
 

Führen Sie Folgendes durch, um Untersuchungen durchzuführen:

1. Stellen Sie den Wert für den Radius des Außenkreises durch die Positionierung des Rollbalkens Radius r ein und legen Sie durch eine Bedienung des Rollbalkens Wälzwinkelpos. die Wälzwinkelposition t (im Bogenmaß) des Punktes P fest.
    
2. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Beschriftung des Punktes P ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Kreise füllen: Farbfüllung der Kreise ein-/ausschalten
• Kreise darstellen: Darstellung der Kreise ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Epizykloide
   
Positionieren Sie Rollbalken Radius r auf den Wert 3 sowie Rollbalken Wälzwinkelpos. auf den Wert 3,77, so stellt das Programm die Kardioide dar, welche durch die Gleichungen x = 3·(2cos(t)-cos(2t)) und y = 3·(2sin(t)-sin(2t)), bzw. (x²+y²-3²)²-4·3²((x-3)²+y²) = 0 beschrieben werden kann.
 
Für die Ortskoordinaten dargestellter Punkte bei Parameter t = 3,77 gibt das Programm aus:
 
Mittelpunkt des abrollenden Kreises: MP (-4,854 / -3,527)  
Punkt auf der Peripherie des abrollenden Kreises: P (-5,781 / -6,38)
 
Weitere Ergebnisse:
 
Fläche der Kardioide (0 £ t £ 2p): A = 169,646 FE
Gesamtbogenlänge der Kardioide (0 £ t £ 2p): l = 48
Schwerpunkt der Kurve: S (-2 / 0)
Hochpunkt der Kurve: H (-3 / 7,794)
Tiefpunkt der Kurve: T (-3 / -7,794)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Kardioide zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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