MathProf - Inverse Funktion - Inversion - Funktion - Umgekehrte Funktion

 

Modul Inverse von Funktionen

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Sonstige Funktionen] - Inverse von Funktionen lassen sich Kurven von Funktionen, die am Kreis invertiert werden, darstellen.

 

Inversion am Kreis:

Gegeben seien ein Kreis I mit dem Mittelpunkt O (dem Zentrum der Inversion) und dem Radius r, sowie ein Punkt P, welcher von O verschieden ist. Dann ist der zu P inverse Punkt P' derjenige auf dem Strahl OP, welcher von O die Entfernung OP' = r²/OP besitzt. Punkt P' wird als inverser Punkt des Punkts P bezüglich I bezeichnet. Aus dieser Definition folgt, dass falls P' der inverse Punkt zu P ist, ebenso auch P invers zu P' ist. Punkte, welche unverändert bleiben, sind die Punkte des Kreises I selbst.
 
In diesem Unterprogramm wird dieses Verfahren nicht lediglich auf einen Punkt P, sondern auf die Mengen aller Punkte, welche durch Funktionen beschrieben werden, angewandt. Der Radius und der Mittelpunkt des Inversionskreises sind frei wählbar.
 
Das Modul ermöglicht die Durchführung einer Inversion am Kreis mit:

• Funktionen in expliziter Form y = f(x,p)
• Funktionen in Parameterform mit x = f(k,p) und y = g(k,p)
• Funktionen in Parameterform mit r = f(k,u,p) und w = f(k,u,p), bzw. j = f(k,u,p)
• Funktionen in Polarform r = f(w,p) bzw. r = f(j,p)
• Funktionen in Polarform w = f(r,p) bzw. j = f(r,p)

   
Der Begriff statisch bedeutet in diesem Unterprogramm, dass der Mittelpunkt sowie der Radius des Kreises, an welchem die entsprechende Kurve zu invertieren ist, durch Eingabewerte auf dem o.a. Fenster des Unterprogramms definiert werden. Bei der Wahl einer interaktiven Darstellungsmethode kann der Radius des Kreises an welchem die definierte Kurve zu invertieren ist, bei Ausgabe der Grafik über einen vorgegebenen Wertebereich durch Rollbalkenpositionierung festgelegt werden.
   

Darstellung der Inversen einer Funktion in expliziter Form


Darstellung der Inversen von Funktion in Parameterform


Darstellung der Inversen von Funktion in Polarform
 

 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen auf diese Art und Weise durchzuführen:
 

1. Aktivieren Sie unter Darstellungsart den Kontrollschalter Statisch bzw. Interaktiv.
    
2. Bei Auswahl der Darstellung der Inversen einer expliziten Funktion definieren Sie den, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierten, Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung y = f(x,p) =.
    
   Wird die Darstellung der Inversen einer Kurve in Parameterform ausgewählt, so definieren Sie die, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierten, Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = f(k,p) = und y = g(k,p) =.
    
   Soll die grafische Ausgabe der Inversen einer Funktion in Polarform erfolgen, so definieren Sie den, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierten, Funktionsterm im zur Verfügung stehenden Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(w,p) =.
    
3. Bei Darstellung der Inversen einer Kurve in Parameterform legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Parameterwertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen die Kurve auszugeben ist (voreingestellt: -π £ k £ π).
    
   Zur Ausgabe der Inversen einer Funktion in Polarform legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Wertebereich für Winkel w (Winkel w von w1 = und bis w2 =) fest, über welchen die Funktion darzustellen ist (voreingestellt: -π £ w £ π).
   
   Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen. Zudem legen Sie durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein fest, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
    
4. Bedienen Sie den Schalter Darstellen.
    
5. Verwenden Sie den sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken Kreisradius r, um den Radius des Inversionskreises festzulegen.
    
6. Möchten Sie den Inversionkreis an einer bestimmten Stelle positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
7. Sollen die Koordinatenwerte des Kreismittelpunktes des Inversionskreises mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Kreismittelpunkts und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
8. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Wird die Analyse mit einer Kurve mit Funktionsparameter P durchgeführt, so selektieren Sie zunächst durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Kreis MP oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.
   
   Wurde zuvor der Kontrollschalter Kreis MP gewählt, oder wird eine Kurve ohne die Verwendung des Parameters P ausgegeben, so wird vor dem Start einer Simulation ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
   
   Wird eine Kurve unter der Verwendung des Parameters P ausgegeben und wird der Kontrollschalter Parameter P gewählt, um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

   
Das Unterprogramm ermöglicht die Verwendung von Funktionstermen in Parameterform der Arten:
 
Kartesisch: x = f(k) und y = g(k)
Polarform:  r = f(k) und w = g(k)
 
Bei der Darstellung von Funktionen in Parameterform werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch zwei Gleichungen ermittelt. Die Werte (Koordinaten) für x und y, bzw. r und j hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher einen definierbaren Wertebereich durchläuft. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Programm auf K festgelegt. Funktionen dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.
 
Durch eine Selektion des Eintrags Kartesisch bzw. Polar aus der Auswahlbox legen Sie fest, mit welcher Definitionsform Kurven dargestellt, bzw. Untersuchungen durchgeführt werden sollen. Voreingestellt ist die Verwendung der am häufigsten benötigten Form Kartesisch.
 
Übersicht:
 

Definition	In Fachliteratur übliche Bezeichnung	Bezeichnung in MathProf
Kartesisch:	x = f(t)  y = g(t)	x = f(k)  y = g(k)
Polar:	r = f(t)   j = g(t)	r = f(k)  w = g(k)

 
Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung der kartesischen Definitionsform eingegangen.
   
Das Unterprogramm ermöglicht die Verwendung von Funktionstermen in Polarform der Arten:
 
Standardform: r = f(w)
Variante:  w = f(r)
 
Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate j. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(j) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel j verwendet werden. Bei der Durchführung von Untersuchungen mit Funktionen der Form j = f(r) ist bei der Definition eines Funktionsterms das Zeichen R zu verwenden.
 
Durch eine Selektion des Eintrags Standard bzw. Variante aus der Auswahlbox legen Sie fest, mit welcher Definitionsform Kurven dargestellt, bzw. Untersuchungen durchgeführt werden sollen. Voreingestellt ist die Verwendung der am häufigsten benötigten Form Standard.
 
Übersicht:
 

Definition	In Fachliteratur übliche Bezeichnung	Bezeichnung in MathProf
Standardform:	r = f(j)	r = f(w)
Variante:	j = f(r)	w = f(r)

 
Nachfolgend wird ausschliesslich auf die Verwendung der Standard-Definitionsform eingegangen.
 
Hinweis:
Möchten Sie sich die Inverse einer Funktion in Polarform in einem Polarkoordinatensystem ausgeben lassen, so wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Enthält ein Funktionsterm der auszugebenden Kurven kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend gezeigten Bedienformulare zur Verfügung gestellt.
 

   
Unter Zuhilfenahme von veränderlichen Funktionsparametern ermöglicht es das Programm Simulationen bei der Darstellung von Funktionen durchführen zu lassen.
 

 
Um sich die Inverse einer Funktion unter Verwendung von Funktionsparametern grafisch darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie entsprechende Funktionsterme unter Verwendung des Zeichens P, um eine Parameterwertsimulation zu ermöglichen und gehen Sie wie oben beschrieben vor, um sich die entsprechenden Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen.
    
2. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Mathematische Funktionen I
Funktionen in Parameterform - Kartesisch
Funktionen in Parameterform - Polar
Funktionen in Polarform - Standard
Funktionen in Polarform - Variante
Inversion einer Geraden am Kreis
Inversion eines Kreises am Kreis
   
Beispiel 1 - Explizite Form:
 
Um sich die Inverse einer Kurve darstellen zu lassen, welche durch eine in expliziter Form definierte Funktion y = f(x) = 5·cos(-5·sin(x/7)) entsteht, aktivieren Sie den Kontrollschalter Funktion der Form f(x,p), geben Sie den Term 5*COS(-5*SIN(X/7)) in das Feld y = f(x) ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 2 - Parameterform - Kartesisch:
 
Es sollen Untersuchungen zu diesem Fachthemengebiet mit einer durch Funktionen in Parameterform beschriebenen Kurve durchgeführt werden. Diese sei durch die Terme x = f(k) = 4·cos(-11·k/4)+7·cos(k) und y = g(k) = 4·sin(-11·k/4)+7·sin(k) über einen Parameterwertebereich 0 £ k £ 2π definiert.
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Funktionen in Parameterform und geben Sie die Terme 4*COS(-11*K/4)+7*COS(K), sowie 4*SIN(-11*K/4)+7*SIN(K) in die Felder mit den Bezeichnungen x = f(k,p) = und y = g(k,p) = ein.
 
Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag Kartesisch. Legen Sie hierauf den Funktionsparameterwertebereich 0 £ k £ 2π durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist), und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 3 - Polarform - Standard:
 
Es gilt, die Inverse einer Kurve in Polarform darstellen zu lassen, welche über einen Winkelwertebereich -π £ j £ π definiert ist und durch die Gleichung f(j) = 4·(j-sin(6·j)) beschrieben wird.
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Funktion in Polarform und geben Sie den Term 4*(W-SIN(6*W)) in das Feld mit der Bezeichnung r = f(w,p) = ein.
 
Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag Standard. Legen Sie hierauf den Winkelwertebereich -π £ j £ π durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Winkel w von w1 = und bis w2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist), und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 4 - Parameterform - Polar:
 
Es sollen Untersuchungen zu diesem Fachthemengebiet mit einer durch Funktionen in Parameterform beschriebenen Kurve durchgeführt werden. Diese sei durch die Terme r = f(k) = 3·cos(2·k+2)+2·cos(k-1) und j = g(k) = 3·sin(2·k+2)-2·sin(k-1) über einen Parameterwertebereich -π £ k £ π definiert.
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Funktionen in Parameterform und geben Sie die Terme 3*COS(2*K+2)+2*COS(K-1) sowie 3*SIN(2*K+2)-2*SIN(K-1) in die Felder mit den Bezeichnungen r = f(k,p) = und w = g(k,p) = ein.
 
Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag Polar. Legen Sie hierauf den Funktionsparameterwertebereich -π £ k £ π durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist), und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 5 - Polarform - Variante:
 
Eine Kurve in Polarform sei durch die Gleichung j = f(r) = 2·(r-r·cos(4·r)) beschrieben. Der Wertebereich für Radius r sei mit -2 £ r £ 2 definiert. Es gilt, Analysen bzgl. der Inversion dieser Kurve an einem Kreis durchzuführen.
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Funktion in Polarform und geben Sie den Term 2*(R-R*COS(4*R)) in das Feld mit der Bezeichnung w = f(r,p) = ein.
 
Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag Variante. Legen Sie hierauf den Wertebereich -2 £ r £ 2 durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Radius r von r1 = und bis r2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist), und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10


Grafische Darstellung - Beispiel 11


Grafische Darstellung - Beispiel 12


Grafische Darstellung - Beispiel 13


Grafische Darstellung - Beispiel 14


Grafische Darstellung - Beispiel 15
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Inversion zu finden.

 

 

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Unterprogramm Inverse von Funktionen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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