MathProf - Interpolation - Newton - Lagrange - Interpolieren

 

Modul Interpolation nach Newton und Lagrange

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Interpolation nach Newton und Lagrange können Berechnungen mit Interpolationspolynomen durchgeführt und Näherungsfunktionen ermittelt werden.

 

Mit dem Begriff Polynominterpolation wird die Suche nach einem Polynom bezeichnet, dessen Kurvenverlauf exakt durch vorgegebene Punkte stattfindet. Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung von Näherungspolynomen mit Hilfe folgender Interpolationsverfahren (Interpolationsmethoden):
 

• Interpolation nach Newton
• Interpolation nach Lagrange

 
Sind von einer unbekannten Funktion n+1 verschiedene Kurvenpunkte bekannt, so kann mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Newton, oder des Interpolationsverfahrens nach Lagrange ein ganzrationales Näherungspolynom n-ten Grades, und somit der Kurvenverlauf der Näherungskurve durch diese Stützpunkte, ermittelt werden. Ein derartiges Polynom trägt die Bezeichnung Interpolationspolynom.


1. Newton-Interpolation - Interpolationspolynom

Ein Newtonsches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form (Interpolationsformel):
 

2. Lagrange-Interpolation - Interpolationspolynom

Ein Lagrangesches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form (Interpolationsformel):
 

 

Lagrangesche Koeffizientenfunktionen sind Polynome n-ten Grades und wie nachfolgend aufgeführt definiert:
 

^.

.

.

 

 

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Das Interpolationsverfahren nach Lagrange trägt auch die Bezeichnung Lagrangesches Interpolationsverfahren oder Lagrange Interpolation.

Die Interpolationsmethode nach Newton ist auch bekannt als Newton Interpolation, Newtonsches Interpolationsverfahren, Newtonsche Interpolation, Newtonsche Näherung oder Newtonsches Näherungsverfahren.
 
Mit dem Begriff Stützstelle (Stützstellen) oder Stützpunkt(e) werden in der numerischen Mathematik die Argumente von Funktionen bezeichnet, die für die weitere Berechnung verwendet werden. Die Abszissenwerte verwendeter Kurvenpunkte tragen die Bezeichnung Stützstellen, Ordinatenwerte die Bezeichnung Stützwerte. Die maximale Anzahl verwendbarer Stützstellen in diesem Unterprogramm beträgt 100.
 
Mit Approximation wird im mathematischen Sinn eine Annäherung bezeichnet. Sie ist das Synonym für eine 'Näherung'. Die beiden in diesem Modul beschriebenen Verfahren sind Methoden, die ein derartiges Vorgehen zur Ermittlung einer entsprechenden Näherungsfunktion mittels definierter Stützpunkte anwenden. Der Rechner ermittelt das entsprechende Interpolationspolynom mit dem Newton-Verfahren oder dem Lagrange-Verfahren für beliebige definierbare Punkte.
  

 

Um die zuvor beschriebenen Verfahren anzuwenden, gehen Sie folgendermaßen vor:
 

1. Wählen Sie den entsprechenden Eintrag Interpolation nach Newton bzw. Interpolation nach Lagrange aus der aufklappbaren Box.
    
2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Stützpunkte in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein, bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen und wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
    
3. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
    
4. Legen Sie im Formularbereich Untersuchungsbereich für Kurvendiskussion, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte, den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen eine Analyse zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten durchgeführt werden soll (Von x1 = und bis x2 =). Voreingestellt ist ein Untersuchungsbereich -4 ≤ x ≤ 4.
    
5. Kann mit den eingegebenen Werten eine Näherungsfunktion ermittelt werden, so werden die Resultate nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen im Formularbereich Ergebnisse ausgegeben. Zudem führt das Programm eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durch.
    
6. Möchten Sie sich die ermittelte Näherungsfunktion grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Bestimmen Sie auf dem Bedienformular durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens Kurvendiskussion, ob Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte der ermittelten Funktion angezeigt werden sollen.
    
8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung oder 2. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.

Hinweise:

Wird ein Abszissenwert mehrfach verwendet, so kann keine Näherungsfunktion ermittelt werden und Sie erhalten eine entsprechende Fehlermeldung. Die Mindestanzahl erforderlicher Stützstellen beträgt 2.
 

Bei der Ausgabe durch Kurvendiskussion ermittelter Punkte werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

N:	Nullstelle
H:	Hochpunkt
T:	Tiefpunkt
W:	Wendepunkt/Wendestelle

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Stützpunkte: Darstellung definierter Stützpunkte ein-/ausschalten
• U-Bereich: Markierung des festgelegten Untersuchungsbereichs zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Stützpunkte sowie der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte Punkte ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Kurvendiskussion

 

Beispiel 1 - Interpolation nach Newton:

Um unter Verwendung der Interpolation nach Newton ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die vier Stützpunkte (Stützstellen) P1 (-3 / -2), P2 (-1,45 / 1,75), P3 (1,3 / -1) und P4 (2,8 / 1,4) beschrieben wird, selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Newton aus der Auswahlbox, übernehmen die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen hierauf die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,2425799·X³ - 0,031072068·X²
        - 1,46738199·X + 0,42716031949

Für die Koeffizienten gibt es aus:

 

a[0] = -2

a[1] = 2,41935483870968

a[2] = -0,795198799699925

 

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 ≤ x ≤ 4:

 

Nullstellen:	N1 (-2,534/ 0)
	N2 (0,293 / 0)
	N3 (2,368 / 0)
Hochpunkt:	H1 (-1,378 / 1,755)
Tiefpunkt:	T1 (1,463 / -1,027)
Wendepunkt:	W1 (0,043 / 0,364)

Beispiel 2 - Interpolation nach Lagrange:

Mit Hilfe der Interpolation nach Lagrange ist ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die fünf Stützpunkte P1 (-2 / 1), P2 (-3 / 1,5), P3 (0,6 / -1,8) und P4 (1,5 / 0,6) beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie den Eintrag Interpolation nach Lagrange aus der Auswahlbox, übernehmen Sie die o.a. Koordinatenwerte in die Tabelle und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm für das gesuchte Interpolationspolynom den Term:

f(x) = 0,27330077·X³+1,04226699·X²
          -0,4813797·X-1,94542

Die Analyse der ermittelten Näherungsfunktion ergibt für den in den Feldern Von x1 = und bis x2 =  festgelegten Untersuchungsbereich -4 ≤ x ≤ 4:

 

Nullstellen:	N1 (-3,782 / 0)
	N2 (-1,388 / 0)
	N3 (1,356 / 0)
Hochpunkt:	H1 (-2,755 / 1,577)
Tiefpunkt:	T1 (0,213 / -1,998)
Wendepunkt:	W1 (-1,271 / -0,211)

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Interpolation zu finden.

 

 


 

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Startfenster des Unterprogramms Interpolation nach Newton und Lagrange
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Polynominterpolation

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PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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