MathProf - Lagrange - Interpolation - Interpolieren - Näherungspolynom

 

Modul Interpolation nach Lagrange - Interaktiv

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Interpolation nach Lagrange - Interaktiv besteht die Möglichkeit, die interaktive Ermittlung von Interpolationspolynomen nach der Methode von Lagrange durchführen zu lassen.

 

 
Sind von einer unbekannten Funktion n+1 verschiedene Kurvenpunkte bekannt, so kann mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Lagrange ein ganzrationales Näherungspolynom n-ten Grades, und somit der annähernde Kurvenverlauf durch diese Stützpunkte, ermittelt werden.

Ein Lagrange'sches Interpolationspolynom durch n+1 verschiedene Stützpunkte besitzt die Form:



Lagrange'sche Koeffizientenfunktionen sind Polynome n-ten Grades und wie folgt definiert:




^.
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.






Das Programm ermittelt aus bis zu 8 vorgegebenen Punkten interpolativ eine ganzrationale Funktion, die näherungsweise durch diese Punkte verläuft. Eine derartige Funktion n-ten Grades benötigt stets n Stützstellen. Die Abszissenwerte der Kurvenpunkte tragen hierbei die Bezeichnung Stützstellen, Ordinatenwerte die Bezeichnung Stützwerte. Kein Abszissenwert darf mehrmals verwendet werden.
 

Um sich eine ganzrationale Funktion, deren Verlauf durch die Vorgabe von Punktkoordinaten und der oben beschriebenen Methode bestimmt wird, ermitteln und darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

1. Wählen Sie durch Bedienung des Steuerelements Anz. Stützstellen die Anzahl der Punkte, durch welche die Funktion verlaufen soll.
    
2. Möchten Sie die Koordinatenwerte einzelner Punkte verwenden, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Um die Koordinatenwerte der Punkte mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
4. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung oder 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung, bzw. der 2. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.
    
5. Durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema bzw. Wendepunkte legen Sie fest, ob eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durchgeführt werden soll.
   
   Möchten Sie den zur Durchführung einer Kurvendiskussion festgelegten Untersuchungsbereich mit der Maus verändern, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
6. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden nach Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollkästchens angezeigt:
 

• Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)
• Extrema der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)
• Wendepunkte der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt)

Beachten Sie:
Kein Abszissenwert darf mehrmals verwendet werden.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Beschriftung definierter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: (linksseitig) Darstellung der Koordinatenwerte definierter Punkte ein-/ausschalten
• Beschriftung: Beschriftung der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: (rechtsseitig) Darstellung der Koordinatenwerte der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Interpolation nach Newton - Interaktiv
Interpolation nach Newton und Lagrange
Kurvendiskussion
   
Es ist mit Hilfe des Interpolationsverfahrens nach Lagrange ein ganzrationales Näherungspolynom bestimmen zu lassen, welches durch die Punkte P1 (-5 / 4), P2 (3 / 3), P3 (1 / 2) und P4 (4 / -1) verläuft.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Festlegung des Grades der zu ermittelnden Funktion auf 3 durch eine Bedienung des Steuerelements Anz. Stützstellen und einer Definition der Punkte P1 - P4 durch eine Bedienung der Schaltfläche Punkte, ermittelt das Programm die Koeffizienten a₃ - a₀ der gesuchten Funktion. In diesem Fall wird die resultierende Näherungsfunktion beschrieben mit:
 
f(x) = -0,17824*X^3+0,07407*X^2+3,11343*X-0,861111
 
Durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen auf dem Bedienformular kann außerdem festgestellt werden, dass diese Funktion folgende Eigenschaften besitzt:
Nullstellen:

N1 (3,685 / 0)
N2 (9,182 / 0)

Tiefpunkte:

TP1 (-4,944 / -1,502)    
TP2 (-7,008 / -3,65)

Hochpunkt:

HP (-0,354 / 3,518)    

Wendepunkte

WP1 (-2,904 / 2,426)
WP2 (4,052 / -0,557)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Interpolation zu finden.

 

 

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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