MathProf - IFS - Iterated function systems - Zeichnen - Rechner
Fachthema: IFS (Iterated Function Systems)
MathProf - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Studenten, Lehrer und Ingenieure sowie für alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul, welches die Darstellung von Grafiken (Fraktalen) die mit Hilfe von IFS (Iterated function systems) erzeugt werden, emöglicht.
Die einzelnen Parameter zur Erzeugung eines derartigen Gebildes können frei festgelegt werden. Zudem können die Lage sowie die Position einer derartig erzeugten Grafik bestimmt werden.
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:IFS - Iterated function systems - Fraktale - Iteriertes Funktionensystem - Transformationsmatrix - Affine Abbildung - Affine Transformation - Tabelle - Wahrscheinlichkeit - Koeffizienten - Transformation - Zufall - Zeichnen - Gebilde - Grafisch - Plotter - Bildpunkte |
IFS (Iterated Function Systems)
Modul IFS (Iterated Function Systems)
Das Unterprogramm [Sonstiges] - [Fraktal]e - IFS ermöglicht die Darstellung von Fraktalen, welche durch Iterated Function Systems (IFS) beschrieben werden.
Mit einem iterierten Funktionensystem (IFS) ist eine Menge von Funktionen definiert, die denselben Raum als Definitions- und Wertebereich haben und unter Verknüpfung abgeschlossen sind. Iterierte Funktionensysteme werden häufig zur Konstruktion von Fraktalen eingesetzt, die als IFS-Fraktale bezeichnet werden.
Hierbei werden mehrere affine Transformationen (z.B. Skalierungen, Verschiebungen, Spiegelungen, Drehungen) aufeinanderfolgend, zufällig auf Punkte, oder Objekte angewandt.
In der Ebene lässt sich eine affine Transformation beschreiben mit:
Bei der Erzeugung eines IFS entscheidet ein Zufallsgenerator darüber, welche der Transformationen zu einem bestimmten Zeitpunkt durchgeführt wird. Für jede Transformation wird eine Wahrscheinlichkeit p angegeben, mit welcher bestimmt wird, wie häufig diese angewendet wird.
Tabellarisch können die Zusammenhänge folgendermaßen dargestellt werden:
| p | a | b | c | d | e | f |
| 0,14 | 0,333 | 0 | 0 | 0,333 | 0,333 | 0,666 |
| 0,43 | 0 | 0,333 | 1 | 0 | 0,666 | 0 |
| 1 | 0 | -0,333 | 1 | 0 | 0,333 | 0 |
p: Wahrscheinlichkeit der Durchführung der Transformation (aufsummiert)
a-f: Koeffizienten der Transformationsmatrix
Zur Berechnung der Bildpunkte wird ein Startpunkt P0 (x0,y0) festgelegt. Per Zufall (mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit) wird eine der zur Verfügung stehenden Transformationen gewählt und Punkt P1 (x1,y1) gezeichnet. Hierauf wird Punkt P2 (x2,y2) dargestellt, dessen Position ebenfalls durch Anwendung der entsprechenden Transformation zufällig bestimmt wurde. Wird dieser Vorgang mehrere Tausend mal wiederholt, so entstehen entsprechende Bilder, welche als IFS-Darstellungen bezeichnet werden.
Das Programm führt Berechnungen dieser Art aus und gibt die Darstellung des entsprechenden Fraktals nach Durchführung einer festgelegten Anzahl von 200000 Iterationen aus.
Hinweis:
Dieses Verfahren wird zur fraktalen Bildkompression von Digitalbildern eingesetzt. Hierbei wird untersucht, ob es zu einem Bild eine Menge von iterativen Transformationen gibt, für welche das Bild der Fixpunkt ist. Diese Art der Fraktalkonstruktion wurde 1981 von John Hutchinson erfunden und später von Michael F. Barnsley mit seinem Buch Fractals Everywhere popularisiert.
Nach einer Fokussierung des entsprechenden Eintrags in der Tabelle wird das Fraktal dargestellt. Um es innerhalb des Darstellungsbereichs zu positionieren, bedienen Sie die Rollbalken X-Pos. und Y-Pos. Durch die Benutzung des Schiebereglers Faktor erreichen Sie eine Vergrößerung bzw. Verkleinerung (Veränderung der Auflösung) des dargestellten Fraktals.
Soll das Fraktal einfarbig ausgegeben werden, so deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Vielfarbig und bewegen die drei auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Schieberegler Rot, Grün, Blau zur Einstellung der RGB-Werte bis die entsprechende Farbe im gewünschten Farbton angezeigt wird. Wird das Kontrollkästchen Vielfarbig aktiviert, so werden Farbwerte nach Durchführung einer bestimmten Anzahl von Iterationen vom Programm per Zufall festgelegt.
Mit Hilfe der in der Symbolleiste zur Verfügung stehenden Lupensymbole kann der Darstellungsbereich vergrößert, verkleinert bzw. in den Urzustand zurückversetzt werden.
Möchten Sie die Darstellung mittels Mausbedienung vergrößern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den Darstellungsbereich des Fensters und ziehen unter Festhalten dieser Taste ein Rechteck auf (von links nach rechts und von oben nach unten). Nach dem Loslassen der Maustaste wird der umrandete Bereich auf den Gesamtdarstellungsbereich vergrößert. Um die Darstellung zu verkleinern, positionieren Sie den Mauszeiger innerhalb des Darstellungsbereichs und bedienen die rechte Maustaste. Der Koordinatenwertebereich der Darstellung wird um den Faktor 1:2 verkleinert.
Das Programm ermöglicht die Festlegung von bis zu 5 verschiedenen Transformationen unter Angabe der zur Durchführung dieser zu verwendenden Wahrscheinlichkeit p. Bedienen Sie die Schaltfläche Parameter, so erscheint das nachfolgend gezeigte Eingabeformular.
In der linken Spalte mit der Bezeichnung p legen Sie, aufsteigend geordnet, die Wahrscheinlichkeit (in %) fest, mit welcher es zur Ausführung der entsprechenden Transformation kommt. Durch die Eingabe von Werten in die Spalten mit den Bezeichnungen a, b, c, d, e und f definieren Sie die Koeffizienten der entsprechenden Abbildungsmatrix. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Ok wird die Darstellung aktualisiert.
Parameterwerte können Sie speichern, indem Sie den Menüeintrag Datei / Speichern wählen. Laden können Sie die zur Darstellung eines Fraktals benötigten Daten wieder, indem Sie den Menüpunkt Datei / Öffnen benutzen.
Beachten Sie:
In diesem Unterprogramm müssen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aufsummiert, in Prozentwerten angegeben werden und dürfen den maximal zulässigen Gesamtwert von 100 (Prozent) nicht überschreiten.
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Werden die Wahrscheinlichkeiten zur Anwendung der drei nachfolgend aufgeführten Transformationsmatrizen jeweils gleich bemessen (je zu 0.3333 bzw. 33 %), so erhalten Sie die Darstellung eines Sierpinski-Dreiecks. Die Tabellenwerte sind hierfür, nach einer Bedienung der Schaltfläche Parameter, wie folgt festzulegen.
| p | a | b | c | d | e | f |
| 33 | 0,5 | 0 | 0 | 0,5 | 0 | 0 |
| 66 | 0,5 | 0 | 0 | 0,5 | 0 | 1 |
| 100 | 0,5 | 0 | 0 | 0,5 | 1 | 1 |
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind,können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bild 1
Bild 2
Bild 3
Bild 4
Bild 5
Bild 6
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Iteriertes Funktionensystem zu finden.
MathProf 5.0 - Unterprogramm Feigenbaum-Diagramm
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
