MathProf - Hypergeometrische Verteilung - Erwartungswert - Lotto

 

Modul Hypergeometrische Verteilung

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses (Dichte) wird bei einer hypergeometrischen Verteilung wie folgt beschrieben:


Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis mindestens, oder höchstens (kumulierte Wahrscheinlichkeit) zu erwarten ist, z.B. P(X ≤ k) oder P(X ≥ k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet. Die Gleichung dieser Verteilung ist definiert mit:



Die Varianz einer hypergeometrischen Verteilung kann wie nachfolgend gezeigt berechnet werden:



Per Voreinstellung (ohne die Aktivierung des Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten) gibt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen die Wahrscheinlichkeit P(X = k) mit der dieses Ereignis genau k-mal eintritt, aus. Zudem werden die Wahrscheinlichkeiten ausgegeben, mit welchen das Auftreten dieses Ereignisses bis zu k-mal, oder höchstens k-mal eintritt F(X ≤ k).
  Interessieren weitere Ereigniswahrscheinlichkeiten, wie
 

• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis genau k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mindestens k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mehr als k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis weniger als k-mal eintritt

so können Sie sich auch diese ausgeben lassen, nachdem vor der Ausführung eines Klicks auf díe Schaltfläche Berechnen das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten aktiviert wurde. Hierbei gelten folgende Zusammenhänge:
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis genau k-mal eintritt:

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis weniger als k-mal eintritt: F(k-1)
 

Um Berechnungen mit hypergeometrisch verteilten Größen durchführen zu lassen und Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:
 

1. Legen Sie im Eingabefeld Losumfang N den Losumfang fest, definieren Sie die Anzahl bestimmter Einheiten in Stichprobe d und geben Sie den Wert für den Umfang der Stichprobe n ein.
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und ist das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten deaktiviert, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X = k), sowie für die Verteilung F(X ≤ k) für k = 1...x in den Tabellen ausgegeben.
   
   Möchten Sie sich alle Arten berechenbarer Ereigniswahrscheinlichkeiten ausgeben lassen, so aktivieren Sie vor Durchführung der Berechnung das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten. Die in Tabelle p2 aufgelisteten Ereigniswahrscheinlichkeiten entsprechen den, auf dem Hauptformular des Unterprogramms in Tabelle Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X = k), angezeigten Wahrscheinlichkeitswerten.
    
3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.

 

 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten

  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 
Hypergeometrische Verteilung - Beispiel 1:

Lottoziehung: Es ist zu ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit (mit welchen Chancen) bei einem Glücksspiel (Lotto), der Ziehung der Lottozahlen 6 aus 49 genau 4, 5 oder 6 Richtige erzielt werden können.

Vorgehensweise und Lösung:

Es sind festzulegen:
  Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 entnommen werden:
  Aus anderen Tabellen können z.B. die Wahrscheinlichkeiten hierfür entnommen werden, höchstens 4, 5, oder 6 Richtige zu erzielen.

Hypergeometrische Verteilung - Beispiel 2:

Aus einer Urne, welche 40 Kugeln enthält, wovon 12 die Farbe rot besitzen, werden 6 Kugeln gleichzeitig gezogen.

Vorgehensweise und Lösung:

Es sind festzulegen:
  Nach Eingabe dieser Werte in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p3 entnommen werden:

Die Wahrscheinlichkeiten, dass sich in der Stichprobe mindestens 0, 1, ... 6 rote Kugeln befinden, sind: