MathProf - Horner-Schema - Rechner - Ableitung - Algorithmus

 

Modul Horner-Schema

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Nullstellen] - Horner-Schema ermöglicht die Anwendung des Horner-Schemas, welches u.a. zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen Anwendung findet.

 

  
Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren, welches unter anderem zur Berechnung der Funktionswerte ganzzahliger Funktionen (Polynome) genutzt werden, wie auch zur Berechnung der Nullstellen von Polynomfunktionen zum Einsatz kommen kann.
 
Mit Hilfe dieses Moduls können Berechnungen mit Funktionen folgender Art durchgeführt werden:

 

 

Hierzu gehören u.a.:
 

• Berechnung der Funktionswerte einer ganzrationalen Funktion

• Schrittweise Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung von Polynomen)

• Bestimmung der Ableitungswerte einer ganzrationalen Funktion an einer Stelle x₀

• Taylorreihenentwicklung an einer Stelle x₀

 
In diesem Programmteil wird es ermöglicht, Nullstellenberechnungen mit ganzrationalen Funktionen bis 6. Grades (n = 6) nach folgendem Schema durchführen zu lassen:
 

 

 
Das zu untersuchende Polynom muss der Potenz der entsprechenden Exponenten geordnet von links nach rechts (höchste Potenz links) gegliedert sein. Die Koeffizienten a_n bis a₀ der entsprechenden Glieder des Polynoms werden gemäß dem oben gezeigten Bild eingegeben. Kommt eine Potenz in einem zu untersuchenden Term nicht vor, so ist für den entsprechenden Koeffizienten die Zahl Null einzutragen.
 

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Beispiel zur Anwendung des Horner-Schemas:

Es gilt die nachfolgend aufgeführte Aufgabe unter Anwendung des Horner-Schemas zu lösen.

(x³ + 2x² - x + 6) : (x + 3) = ?

Zunächst werden die Polynomkoeffizienten des Terms x³ + 2x² - x + 6 in die oberste Zeile des Schemas von links nach rechts eingetragen. Hierbei wird mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz begonnen und es werden die Zahlen 1, 2, -1 und 6 in die Spalten mit den Bezeichnungen a₃, a₂, a₁ und a₀ geschrieben.


In die Spalte mit der Bezeichnung x wird die Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen eingetragen, die sich im Nenner des Bruchs befindet. Im vorliegenden Fall ist dies die Zahl -3, da der zu dividierende Term (x + 3) lautet. Somit wird in dieses Feld der Ausdruck x₁ = -3 geschrieben.

Hierauf erfolgt die Übernahme des Koeffizenten a₃ in die vierte Zeile. Im vorliegenden Fall handelt es sich um die Zahl 1.
 

Der zuletzt übertragene Wert (die Zahl 1) wird nun mit dem Wert der Zahl x₁ multipliziert. Diese Multiplikation führt zum Ergebnis -3, denn -3 · 1 = -3. Die hierdurch ermittelte Zahl (-3) wird zum Wert des Koeffizienten a₂ addiert. Aus dieser Rechenoperation resultiert die Zahl -1, denn 2 - 3 = -1. Dieses Ergebnis wird in das unterste Feld der Spalte a₂ übernommen.
 

Wiederum wird der zuletzt übertragene Wert (die Zahl -1) mit dem Wert der Zahl x₁ multipliziert. Diese Multiplikation führt zum Ergebnis 3, denn -3 · (-1) = 3. Die hierdurch ermittelte Zahl (3) wird zum Wert des Koeffizienten a₁ addiert. Aus dieser Rechenoperation resultiert die Zahl 2, denn -1 + 3 = 2. Dieses Ergebnis wird in das unterste Feld der Spalte a₁ übernommen.
 

Im letzten durchzuführenden Schritt wird der zuletzt übertragene Wert (die Zahl 3) mit dem Wert der Zahl x₁ multipliziert. Diese Multiplikation führt zum Ergebnis -6, denn 2 · (-3) = -6. Die hierdurch ermittelte Zahl (-6) wird zum Wert des Koeffizienten a₀ addiert. Aus dieser Rechenoperation resultiert die Zahl 0, denn 6 - 6 = 0. Dieses Ergebnis wird in das unterste Feld der Spalte a₀ übernommen.


Ergebnis:

Das Resultat dieser durchgeführten Rechenoperationen kann aus der untersten Zeile des Horner-Schemas aus den Spalten a₃, a₂, a₁ und a₀ abgelesen werden. Im vorliegenden Fall sind dies die Zahlen 1, -1, 2 und 0.

Somit ergibt sich für die Lösung der durchgeführten Rechenoperation (x³ + 2x³ - x + 6) : (x + 3) das Ergebnis (x³ + 2x³ - x + 6) : (x + 3) = x² - x + 2.

 

Die Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit Hilfe des Horner-Schemas kann in diesem Modul folgendermaßen ausgeführt werden:
 

1. Geben Sie die Koeffizienten des zu untersuchenden Polynoms, sowie den Wert der zu verwendenden Startstelle x₀ in die entsprechenden Felder ein und bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    

2. Möchten Sie sich die definierte Polynomfunktion grafisch ausgeben lassen, so bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen. Bei einer zuvor ausgeführten Aktivierung des Kontrollkästchens Ableitungen darstellen werden auch die Ableitungen der Funktion (bis zu deren festgelegtem Grad) dargestellt.
    

3. Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchen Startstelle markieren wird eine Vertikale an der festgelegten Startstelle ausgegeben. Eine Aktivierung der Kontrollkästchens Punkte bezeichnen bewirkt die Einblendung von Punkten auf der Kurve bzw. derer Ableitungen an der Startstelle.
    

 
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

Mathematische Funktionen II

Ermittlung ganzrationaler Funktionen

Interpolation ganzrationaler Funktionen

Kurvendiskussion

 

 

Horner-Schema Beispiel 1:

 

Gesucht wird der Funktionswert der Funktion f(x) = 5,2·x⁴-3·x²+0,4·x-6 an der Stelle x₀ = 0,5.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts 0,5 im Feld X₀, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:

 

a4	5,2
a3	0
a2	-3
a1	0,4
a0	-6

 

erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:

 

	5,2	0	-3	0,4	-6
x0 = 0,5	5,2	2,6	1,3	-0,85	-0,225
	5,2	2,6	-1,7	0,45	-6,225

 

Aus der Tabelle Spalte 6, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(0,5) gleich -6,225 ist. f(0,5) = -6,225

 

Horner-Schema Beispiel 2:

 

Es gilt zu zeigen, dass die Funktion f(x) = 3·x³+18·x²+9·x-30 an der Stelle x₀ = -5 eine Nullstelle besitzt. Zudem soll die Produktdarstellung des Polynoms ermittelt werden.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Löschen, der Festlegung des Startwerts -5 im Feld X₀, sowie der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die dafür vorgesehenen Felder:

 

a3	3
a2	-18
a1	9
a0	-30

 

erstellt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen das folgende Horner-Schema:

 

	3	-18	9	-30
x0 = -5	3	-15	-15	30
	3	3	-6	0

 

Reduziertes Polynom: f(x) = 3·x² + 3·x - 6 = x² + x - 2

 

Aus der Tabelle in Spalte 5, Zeile 3 kann entnommen werden, dass der Funktionswert an Stelle f(-5) gleich 0 ist. Die Nullstellen des reduzierten Polynoms f(x) sind: x₁ = 1 und x₂ = -2. Somit lautet die Produktdarstellung des Polynoms: f(x) = 3·(x+5)·(x-1)·(x+2).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
     

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
 
Wikipedia - Horner-Schema
Wikipedia - Nullstelle 

    

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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