MathProf - Höhenlinien - Komplex - Funktion - Schnittlinien - Niveaulinien

 

Modul Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Komplex] - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I können die Konturen der Realteile, Imaginärteile oder Beträge komplexer Funktionen des Typs w = f(z) bzgl. derer Höhenverläufe untersucht werden.

 

 
In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von reellwertigen Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die zweidimensionale Darstellung der Konturen und Höhenlinien von Flächen, welche beschrieben werden durch
 

• Realteile komplexer Funktionen der Form w = f(z,p)
• Imaginärteile komplexer Funktionen der Form w = f(z,p)
• Beträge komplexer Funktionen der Form w = f(z,p)

Die Höhenlinien einer komplexwertigen Funktion w = f(z) bezeichnen diejenigen Mengen, deren Elemente alle auf komplexe Zahlen mit demselben Imaginärteil oder mit demselben Realteil, bzw. demselben Betrag abgebildet werden. Höhenlinien tragen auch die Bezeichnungen Höhenschichtlinien, Isolinien oder Niveaulinien.
 
Das Programm projiziert den Verlauf derartiger Konturen und Höhenlinienverläufe ins Zweidimensionale und führt bei Bedarf eine Füllung der Flächenkonturverläufe zwischen den Höhenlinien durch. Diese Füllung der Flächenkonturverläufe zwischen den Höhenlinien wird als Flächenkontur oder Niveaufläche bezeichnet. Dieses Modul ermittelt diese und ermöglicht somit die Darstellung von
 

• Höhenlinienverläufen und Flächenkonturen bzgl. derer Imaginärteile Im f(z,p)
• Höhenlinienverläufen und Flächenkonturen bzgl. derer Realteile Re f(z,p)
• Höhenlinienverläufen und Flächenkonturen bzgl. derer Beträge |f(z,p)|

   
Um sich die Darstellung von Höhenlinienverläufen oder Flächenkonturen der Realteile, Imaginärteile oder Beträge komplexer Funktionen grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie folgendermaßen verfahren:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Menupunkts Höhenlinien bzw. Flächenkontur unter Art aus, ob ein Höhenlinienverlauf, oder ein Flächenkonturverlauf ausgegeben werden soll.
    
2. Definieren Sie die den geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen gemäß formulierte Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung w = f(z,p) =.
    
3. Selektieren Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Realteil Re f(z), Imaginärteil Im f(z) bzw. Betrag |f(z)|, ob ein Höhenlinienverlauf bzw. ein Flächenkonturverlauf für den Realteil, den Imaginärteil, oder den Betrag der komplexen Funktion ausgegeben werden soll.
    
4. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender reeller Zahlen den Wertebereich (Höhenbereich) fest, über welchen Konturverläufe ausgegeben werden sollen.
   
   Zur Untersuchung von Konturverläufen des Realteils sind die Felder mit den Bezeichnungen Von Re f(z) = und bis Re f(z) =, zur Untersuchung von Konturverläufen des Imaginärteils, die Felder mit den Bezeichnungen Von Im f(z) = und bis Im f(z) = und zur Untersuchung der Konturverläufe des Betrags die Felder mit den Bezeichnungen Von |f(z)| = und bis |f(z)| = zu beschreiben.
    
5. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender reeller Zahlenwerte in die Felder Von Re Z = und bis Re Z =, sowie Von Im Z = und bis Im Z = den rechteckigen Flächenbereich, über welchen die Flächenkontur ausgegeben werden soll.
    
6. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ... den Startwert, sowie den Endwert des vom reellwertigen Funktionsparameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Funktionsparameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.
    
7. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
8. Stellen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens im Formularbereich Höhenbereich den zuvor festgelegten zu durchlaufenden Wertebereich für die Höhe ein. Das Programm stellt die Flächenkonturverläufe von dem auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegten Wert für Von Re f(z) =, Von Im f(z) = bzw. Von |f(z)| = bis zu dem mit Hilfe des Rollbalkens im Formularbereich Höhenbereich eingestellten Wert dar (bis Re f(z) =, bis Im f(z) = bzw. bis |f(z)| =).
    
9. Bestimmen Sie durch die Auswahl des Kontrollschalters Grob, Mittel oder Fein, welche Auflösung zu verwenden ist.
    
10. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menupunkts unter Spektrum die Art des für die Darstellung zu verwendenden Spektrums aus. Zur Auswahl stehen Standard und Pivot.
     
11. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so ist der im Formularbereich Parameter zur Verfügung stehende Schieberegler aktiviert, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für den reellwertigen Parameter P einstellen können.
     
12. Führen Sie ggf. entsprechende Mausoperationen durch, indem Sie im Formularbereich Auswahl - Mausoperationen die entsprechende Methode auswählen.
     
13. Um Höhenbereiche simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation (wenn der Funktionsterm das Einzelzeichen P enthält) durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung dieser wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt.
    
    Wählen Sie durch Aktivierung des Kontrollschalters Höhenbereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.
    
    Hierauf können Sie auch den Wert für die Verzögerung einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:
Werden Untersuchungen mit Funktionen durchgeführt, welche nicht das Einzelzeichen P enthalten (parameterfreie Funktionen), so ist der Rollbalken im Formularbereich Parameter stets deaktiviert.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Konturverläufe können per Mausbedienung u.a. verschoben, gezoomt werden. Nachfolgend werden Methoden von Mausoperationen beschrieben:

Verschieben:
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Verschieben, klicken Sie mit der linken Maustaste in den Darstellungsbereich des Diagramms und positionieren Sie die Grafik unter Festhalten der Taste. Nach dem Loslassen der Maustaste wird die zuletzt festgelegte Position beibehalten.

Zoomen (Koordinatenwertebereich verkleinern):
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zoomen, klicken Sie mit der inken Maustaste in den Darstellungsbereich des Diagramms und ziehen Sie unter Festhalten der Taste ein Rechteck auf (von links nach rechts und von oben nach unten). Nach dem Loslassen der Maustaste wird der umrandete Bereich auf den Gesamtdarstellungsbereich vergrößert.

Bereichswahl:
Den auf dem Hauptformular des Unterprogramms voreingestellten Darstellungsbereich (Von Re f(z) = und bis Re f(z) =, Von Im f(z) = und bis Im f(z) =, Von |f(z)| und bis |f(z)| =) könnnen Sie verändern, indem Sie den Kontrollschalter Bereichswahl aktivieren. Klicken Sie hierzu mit der Maus in den Darstellungsbereich des Diagramms und verändern Sie unter Festhalten der linken Maustaste den horizontalen bzw. vertikalen Kordinatenwertebereich.

Messen:
Um Messungen mit Hilfe eines Fadenkreuzes durchzuführen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Messen und positionieren den Mauscursor bei gedrückt gehaltener linker Maustaste an die gewünschte Stelle.

Urzustand:
Möchten Sie den Konturverlauf wieder in dessen Urzustand versetzen, so klicken Sie mit der linken Maustaste mit der Maus in den Darstellungsbereich und bedienen die rechte Maustaste, oder verwenden die Schaltfläche Urzustand.
   
Komplexe Funktionen (3D)
Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II
   
Die nachfolgend gezeigte Abbildung verschafft ein Bild über die Zusammenhänge, wenn eine durch den Realteil Re f(z) = z² einer komplexen Funktion beschriebene Fläche aufeinanderfolgend von, parallel zur (Re z,Im z)-Ebene liegenden, Ebenen Re f(z) = c (konstant) geschnitten wird und die verschiedenen entstehenden Verläufe gemeinsam, zweidimensional in einem Konturdiagramm ausgegeben werden.
 

 
Abb. 1: Zweidimensional ausgegebener Höhenkonturverlauf bei Durchführung mehrerer Schnitte mit Ebenen von Re f(z1) = -3 bis Re f(z2) = 3.
 

 
Abb. 2: Schnittkurvenverlauf 1 der durch Re f(z) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene Re f(z) = c1, mit Re f(z1) £ c1 £ Re f(z2) (auf Boden projiziert).
 

 
Abb. 3: Schnittkurvenverlauf 2 der durch Re f(z) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene Re f(z) = c2, mit Re f(z1) £ c2 £ Re f(z2) (auf Boden projiziert).
 

 
Abb. 4: Schnittkurvenverlauf 3 der durch Re f(z) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene Re f(z) = c3, mit Re f(z1) £ c3 £ Re f(z2) (auf Boden projiziert).
   
Um sich die Konturen einer Fläche, welche durch den Realteil einer komplexen Funktion w = f(z) = cos((z²-i²)/5)-(z·i/5) beschrieben wird, bzgl. deren Höhenverlauf über einen Bereich von Re f(z) = -5 bis Re f(z) = 5, grafisch ausgeben zu lassen, definieren Sie im Eingabefeld w = f(z,p) = den Term COS((Z^2-I^2)/5)-(Z*I/5).
 
Aktivieren Sie hierauf den Kontrollschalter Realteil, belassen Sie die Werte im Formularbereich Voreinstellung - Untersuchungsbereich auf den Vorgabeeinstellungen -3 £ Re z £ 3, -3 £ Im z £ 3 und geben Sie in die Felder Von Re f(z) = sowie bis Re f(z) = die Werte -5 und 5 ein. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 
Das Programm stellt den Höhenverlauf der Fläche über einen Bereich Re f(z) = -5 bis Re f(z) = 5 dar. Wird der Rollbalken Höhenbereich entsprechend positioniert, so wird die Kontur bzgl. des Höhenverlaufs von Re f(z) = -5 bis zum momentan eingestellten Maximalwert für Re f(z) ausgegeben. Die Zuordnung dargestellter Farben bzgl. der Höhen ist dem vertikal angeordneten und skalierten Farbspektrum zu entnehmen.
 
Soll der Flächenkonturverlauf des Imaginärteils Im f(z) = cos((z²-i²)/5)-(z·i/5) der komplexen Funktion untersucht werden, so aktivieren Sie vor Ausgabe der grafischen Darstellung den Kontrollschalter Imaginärteil. Ist der Flächenkonturverlauf des Betrags |f(z)| = cos((z²-i²)/5)-(z·i/5) der komplexen Funktion zu analysieren, so aktivieren Sie zuvor den Kontrollschalter Betrag.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Isolinie
Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion

 

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

Startfenster des Unterprogramms Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I
 

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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