MathProf - Höhenlinien - Kontur - Konturen - Fläche - Flächen - Funktion

 

Modul Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Höhenlinien - Schnittkurven - Konturen] - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I können die Konturen von Flächen der Form z = f(x,y) bzgl. derer Höhenverläufe untersucht werden.

 

 
In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die zweidimensionale Darstellung der Konturen und Höhenlinien von Flächen, welche beschrieben werden durch

• Funktionen der Form z = f(x,y,p)

Das Programm projiziert den Verlauf derartiger Konturen und Höhenlinienverläufe ins Zweidimensionale und führt ggf. eine Füllung der Flächenkonturverläufe zwischen den Höhenlinien durch. Es ermöglicht somit die Darstellung von:
 

• Höhenlinienverläufen von Flächen, beschrieben durch Funktionen der Form z = f(x,y,p)
• Konturverläufen von Flächen, beschrieben durch Funktionen der Form z = f(x,y,p)

  Um sich die Darstellung von Höhenlinienverläufen oder Flächenkonturen grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie folgendermaßen verfahren:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menupunkts Höhenlinien bzw. Flächenkontur unter Art aus, ob ein Höhenlinienverlauf, oder ein Flächenkonturverlauf ausgegeben werden soll.
    
2. Definieren Sie die (implizite), den geltenden Syntaxregeln gemäß formulierte, Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,y,p) =.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlen den Wertebereich (Höhenbereich) fest, über welchen Konturverläufe ausgegeben werden sollen (von z1 = und bis z2 =).
    
4. Bestimmen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Von x1 = und bis x2 =, sowie Von y1 = und bis y2 = den rechteckigen Bereich über welchen die Flächenkontur ausgegeben werden soll.
    
5. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ... den Startwert, sowie den Endwert des vom Funktionsparameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Funktionsparameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Stellen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens im Formularbereich Höhenbereich den zuvor festgelegten, zu durchlaufenden Wertebereich für die Höhe ein. Das Programm stellt die Flächenkonturverläufe von dem auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegten Wert für z1 bis zu dem mit Hilfe des Rollbalkens im Formularbereich Höhenbereich eingestellten Wert dar (von z1 = und bis z2 =).
    
8. Bestimmen Sie durch die Aktivierung eines Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein die vom Programm zu verwendende Auflösung.
    
9. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menupunkts unter Spektrum die Art des für die Darstellung zu verwendenden Spektrums aus. Zur Auswahl stehen Standard und Pivot.
    
10. Beinhaltet der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so ist der im Formularbereich Parameter zur Verfügung stehende Schieberegler aktiviert, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Funktionsparameter P einstellen können.
     
11. Führen Sie ggf. entsprechende Mausoperationen durch, indem Sie im Formularbereich Auswahl - Mausoperationen die entsprechende Methode auswählen.
     
12. Um Höhenbereiche simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation (wenn der Funktionsterm das Einzelzeichen P enthält) durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung dieser wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt.
    
    Wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Höhenbereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:
Werden Untersuchungen mit Funktionen durchgeführt, welche nicht das Einzelzeichen P enthalten (parameterfreie Funktionen), so ist der Rollbalken im Formularbereich Parameter stets deaktiviert.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Konturverläufe können per Mausbedienung u.a. verschoben, gezoomt werden. Nachfolgend werden Methoden von Mausoperationen beschrieben:

Verschieben:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Verschieben, klicken Sie mit der linken Maustaste in den Darstellungsbereich des Diagramms und positionieren Sie die Grafik unter Festhalten der Taste. Nach dem Loslassen der Maustaste wird die zuletzt festgelegte Position beibehalten.

Zoomen (Koordinatenwertebereich verkleinern):

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Zoomen, klicken Sie mit der inken Maustaste in den Darstellungsbereich des Diagramms und ziehen Sie unter Festhalten der Taste ein Rechteck auf (von links nach rechts und von oben nach unten). Nach dem Loslassen der Maustaste wird der umrandete Bereich auf den Gesamtdarstellungsbereich vergrößert.

Bereichswahl:

Den auf dem Hauptformular des Unterprogramms voreingestellten Darstellungsbereich (Von x1 = und bis x2 =, Von y1= und bis y2 =) könnnen Sie verändern, indem Sie den Kontrollschalter Bereichswahl aktivieren. Klicken Sie hierzu mit der Maus in den Darstellungsbereich des Diagramms und verändern Sie unter Festhalten der linken Maustaste den horizontalen bzw. vertikalen Kordinatenwertebereich.

Messen:

Um Messungen mit Hilfe eines Fadenkreuzes durchzuführen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Messen und positionieren den Mauscursor bei gedrückt gehaltener linker Maustaste an die gewünschte Stelle.

Urzustand:

Möchten Sie den Konturverlauf wieder in dessen Urzustand versetzen, so klicken Sie mit der Maus in den Darstellungsbereich und bedienen die rechte Maustaste, oder verwenden die Schaltfläche Urzustand.
   
Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II
Darstellung implizit definierter Funktionen
Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D)
Untersuchungen mit Flächen in expliziter Form (3D)
Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in expliziter Form (3D)
   
Die nachfolgend gezeigte Abbildung verschafft ein Bild über die Zusammenhänge, wenn eine Fläche z = f(x,y) = x²+y² aufeinanderfolgend von, parallel zur (x,y)-Ebene liegenden, Ebenen z = c (konstant) geschnitten wird und die verschiedenen entstehenden Verläufe gemeinsam, zweidimensional in einem Konturdiagramm ausgegeben werden.
 

 
Abb. 1: Zweidimensional ausgegebener Höhenkonturverlauf bei Durchführung mehrerer Schnitte mit Ebenen von z1 = -3 bis z2 = 3.
 

 
Abb. 2: Schnittkurvenverlauf 1 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene z = c1, mit z1 £ c1 £ z2 (auf Boden projiziert).
 

 
Abb. 3: Schnittkurvenverlauf 2 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene z = c2, mit z1 £ c2 £ z2 (auf Boden projiziert).
 

 
Abb. 4: Schnittkurvenverlauf 3 der durch z = f(x,y) beschriebenen Fläche bei Durchführung eines Schnitts mit einer Ebene z = c3, mit z1 £ c3 £ z2 (auf Boden projiziert).
   
Um sich die Konturen einer Fläche, welche durch die Funktion z = f(x,y) = x²+y²-2 beschrieben wird, bzgl. deren Höhenverlauf über einen Bereich von z₁ = -5 bis z₂ = 5, grafisch ausgeben zu lassen, definieren Sie im Eingabefeld f(x,y,p) = den Term X^2+Y^2-2.
 
Belassen Sie die Werte im Formularbereich Voreinstellung - Untersuchungsbereich auf den Vorgabeeinstellungen -3 £ x £ 3, -3 £ y £ 3 und geben Sie in die Felder Von z1 = und bis z2 = die Werte -5 und 5 ein. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Das Programm stellt den Höhenverlauf der Fläche über einen Bereich z₁ = -5 bis z₂ = 5 dar. Wird Rollbalken Höhenbereich entsprechend positioniert, so wird die Kontur bzgl. des Höhenverlaufs von z₁ = -5 bis zum momentan eingestellten Wert z₂ ausgegeben. Die Zuordnung dargestellter Farben bzgl. der Höhen ist dem vertikal angeordneten und skalierten Farbspektrum zu entnehmen. 

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Höhenlinien zu finden.

 

 

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Unterprogramm Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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