MathProf - Hippokrates-Möndchen - Möndchen des Hippokrates

Modul Hippokrates-Möndchen

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Unter dem Menüpunkt [Geometrie] - [Extras] - Hippokrates Möndchen kann dieses Problem des altgriechischen Mathematikers Hippokrates analysiert werden.

 

 

Die Möndchen des Hippokrates werden dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 460 v. Chr.) beigemessen. Ihm gelang es hiernach erstmalig Berechnungen mit krummlinig begrenzten Flächen durchzuführen.

Werden über den beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks Halbkreise gezeichnet, so entstehen zwei sichelförmige Flächen, die als Möndchen des Hippokrates bezeichnet werden. Gemäß dem Satz des Hippokrates entspricht bei jedem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt der beiden Möndchen (Mondsicheln) dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.

 

Es ist zu beweisen, dass die beiden Möndchen gemeinsam exakt den Flächeninhalt besitzen, den das dargestellte rechtwinklige Dereieck besitzt. Gegeben seien die Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks a, b, c.


Ansatz:

Im rechtwinkligen Dreieck gilt: c² = a² + b²

Das blau dargestellte rechtwinklige Dreieck besitzt die Fläche A_D = 1/2 ⋅ a ⋅ b

Der Halbkreis über b besitzt die Fläche A₁ = 1/2 ⋅ (b/2)² ⋅ π
Der Halbkreis über a besitzt die Fläche A₂ = 1/2 ⋅ (a/2)² ⋅ π
Der Halbkreis über c besitzt die Fläche A₃ = 1/2 ⋅ (c/2)² ⋅ π

Da gilt c² = a² + b², besitzt das Möndchen die Fläche:

A_M = A_D + A₁ + A₂ - A₃ = 1/2 ⋅ a ⋅ b + 1/2 ⋅ (b/2)² ⋅ π + 1/2 ⋅ (a/2)² ⋅ π - 1/2 ⋅ (c/2)² ⋅ π

Nach dem Ausklammern des gemeinsamen Faktors 1/2 ⋅ π ergibt sich:

A_M = A_D + A₁ + A₂ - A₃ = 1/2 ⋅ a ⋅ b + 1/2 ⋅ π (a ⋅ b + (b/2)² + (a/2)² - (c/2)²)

Gemäß dem Satz des Pythagoras gilt: b² + a² - c² = 0
Auf den vorliegenden Fall übertragen, gilt somit: (b/2)² + (a/2)² - (c/2)² = 0

Hierdurch ist bewiesen, dass die Fläche des Möndchens A_M =  1/2 ⋅ a ⋅ b beträgt. Sie entspricht somit der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks.

 

Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Strecke AB auf dem Bedienformular die Hypotenusenlänge des Dreiecks fest.
    
2. Soll der Abszissenwert des Lotfußpunktes F exakt festgelegt werden, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Möchten Sie die Position des Lotfußpunktes F mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunkts und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunkts und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Satz des Arbelos

Pappus-Kreise

Archimedische Kreise

 

Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (-2 / 0) eingestellt und eine Hypotenusenlänge des Dreiecks von 15 (Strecke AB = 15) festgelegt, so werden folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

Fläche des Dreiecks: 54,213 FE

Fläche des Möndchens über AC: 22,917 FE

Fläche des Möndchens über BC: 31,296 FE

d.h. Fläche der beiden Möndchen = Fläche des Dreiecks!

 

Radius des Kreises über AC: r = 4,541

Radius des Kreises über BC: r = 5,969

 

Winkel alpha = 52,733°

Winkel beta = 37,267°

Winkel gamma = 90°

 

Position des Punktes A (-7,5 / 0)

Position des Punktes B (7,5 / 0)

Position des Punktes C (-2 / 7,228)

Position des Punktes F (-2 / 0)

 

Länge der Strecke AB = 15

Länge der Strecke AC = 9,083

Länge der Strecke BC = 11,937

Länge der Strecke AF = 5,5

Länge der Strecke FB = 9,5

 

Fläche AFC = 19,878 FE

Fläche FCB = 34,335 FE
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Möndchen des Hippokrates zu finden.
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Varignon-Parallelogramm

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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