MathProf - Hessesche Normalenform - Gerade - Abstand - Schnittpunkt

Modul Hessesche Normalenform einer Gerade

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Hessesche Normalenform können Geraden (lineare Funktionen) in Hessescher Normalenform untersucht werden.

 

Die Hessesche Normalform (Hessesche Normalenform) stellt eine implizite Form der Geraden- oder Ebenengleichungen dar, die unter anderem dazu dient, den Abstand eines Punktes von einer Gerade oder einer Ebene auf einfache Weise zu bestimmen bzw. zu beschreiben. Sie ist nach dem Mathematiker Otto Hesse benannt.
 
In diesem Modul können Geraden (lineare Funktionen) untersucht werden, die auf diese Weise definiert sind. Geraden dieser Art lassen sich durch den senkrechten Abstand p des Nullpunktes von einer Geraden, sowie dem Winkel β, zwischen dem Lot vom Koordinatenursprung auf die Gerade, und der positiven x-Achse beschreiben:

x·cos(β)+y·sin(β) = p

bzw.

x·cos(β)+y·sin(β) - p = 0
 

Das Programm ermittelt hierbei u.a:
 

• Winkel der Geraden bzgl. der Abszisse (Anstiegswinkel)
• Steigung der Geraden
• Lotlänge p
• Gleichung der Geraden in Hessescher Normalenform
• Gleichung der Geraden in Steigungsform
• Abstand der Geraden vom Ursprung
• Nullstelle und Ordinaten-Schnittpunkt der Geraden
• Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Form
• Schnittpunkt zweier Geraden dieser Form

Es werden zwei verschiedene Varianten angeboten, um Untersuchungen zu diesem Fachthema durchzuführen.

Variante 1 bietet die Möglichkeit, die Gerade eindeutig durch die frei wählbare Positionierung eines Punktes in der Ebene zu bestimmen. Variante 2 ermöglicht es, die Lage der Geraden durch die Festlegung ihres Neigungswinkels bzgl. der Abszisse, sowie deren Lotlänge zu definieren.
    

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden dieser Art durchzuführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1 oder Variante 2, welche Art der Untersuchung durchgeführt werden soll.
    
2. Bei Selektion der Variante 1 führen Sie Folgendes durch:
   
   Möchten Sie die Koordinatenwerte des Lotfußpunkts (Punkt P, bzw. P1 oder P2) der Geraden exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Um die Position des Lotfußpunkts der Geraden mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
   
   Sollen gleichzeitig zwei Geraden dieser Art dargestellt und der Schnittpunkt sowie die Winkelhalbierenden dieser ausgegeben werden, so aktivieren Sie die Kontrollkästchen 2 Geraden und die Kontrollkästchen SP sowie WH.
    
3. Wurde Variante 2 gewählt, so legen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens β den Neigungswinkel der Gerade bzgl. der Abszisse fest und durch die Positionierung des zweiten Rollbalkens p definieren Sie die Lotlänge der Gerade (Abstand der Gerade zum Ursprung).
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

       

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte beschriften: Beschriftung relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
• Winkel zeigen: Darstellung des/der Winkel(s) β der Gerade(n) ein-/ausschalten
• Lotstrecke: Darstellung der Lotstrecke(n) der Gerade(n) ein-/ausschalten
• Achs-SP: Darstellung des Schnittpunkts einer Geraden mit der Y-Achse, sowie derer Nullstelle ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

 

Beispiel 1 - Variante 1:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1, der Festlegung der Koordinatenwerte des Lotfußpunktes P (5 / 5) der Geraden, erhalten Sie folgende Ergebnisse:

Gleichung der Geraden: x·cos(45°)+y·sin(45°)-7,071 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -1·X+10

Steigung der Geraden: m = -1

Winkel β: 45°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 7,071

Nullstelle der Geraden: N (10 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 10)

 

Werden die Kontrollkäschen 2 Geraden, WH sowie SP aktiviert und wird für die zweite Gerade der Koordinatenwert des Punkts, durch welchen diese verlaufen soll, mit P2 (6 /2) festgelegt, so ermittelt das Programm zusätzlich:

 

Für die Gerade durch Punkt P2:

 

Gleichung der Geraden: x·cos(18,435°)+y·sin(18,435°)-6,325 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -3·X+20

Steigung der Geraden: m = -3

Winkel β: 18,435°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 6,325

Nullstelle der Geraden: N (6,667 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / -1,249)

 

Für die Gleichungen der Winkelhalbierenden beider Geraden gibt das Programm aus:

 

Winkelhalbierende 1: Y = -1,618·X+13,09

Winkelhalbierende 2: Y = 0,618·X+1,91

 

Der Schnittpunkt beider Geraden wird ermittelt mit: S (5 / 5)
 

Beispiel 2 - Variante 2:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Variante 2, der Positionierung des Rollbalkens β auf den Wert 230 und einer Positionierung des zweiten Rollbalkens p auf den Wert 5, wird eine Gerade in Hessescher Normalenform dargestellt, welche folgende Eigenschaften besitzt:

Gleichung der Geraden: x·cos(230°)+y·sin(230°)-5 = 0 (Hessesche Normalenform)

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = -0,839·X-6,527

Steigung der Geraden: m = -0,839

Winkel β: 230°

Abstand der Geraden vom Ursprung (Lotlänge): d = 5

Nullstelle der Geraden: N (-7,779 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / -6,527)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Hessesche Normalenfom zu finden.

 

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)

  

MathProf 5.0 - Unterprogramm Allgemeine Form einer Gerade

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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