MathProf - Funktion - Synthese - Überlagerung - Gesamtfunktion - Teilfunktion

 

Modul Harmonische Synthese

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Unter dem Menüpunkt [Analysis] - [Reihen und Synthese] - Harmonische Synthese können Untersuchungen zum Fachthema Harmonische Synthese durchgeführt werden.

 

    
Das Ergebnis einer harmonischen Synthese ist als Überlagerung n einzelner Teilfunktionen in Abhängigkeit von einem veränderlichen Parameter k zu verstehen. Wird dies mit einer Funktion y = f(x,k) durchgeführt, so kann dieser Zusammenhang folgendermaßen formuliert werden:



r(x) : Gesamtfunktion
f(x,k): Einzelfunktion

Mit Hilfe dieser Methode kann beispielsweise der Verlauf von Sägezahnkurven oder Rechteckkurven näherungsweise beschrieben werden.

In diesem Unterprogramm können Sie die untere Grenze dieses Parameters k frei definieren (im positiven Bereich) und somit die Summationsgrenzen innerhalb eines Bereichs von 0 - 99 festlegen, wobei es zu beachten gilt, dass stets max. 5 Gesamtfunktionen gleichzeitig dargestellt werden können.
 

 
Durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung die Resultate harmonischer Synthesen zu analysieren:
 

• Statisch:
  Statische Darstellung einer Überlagerung mit y = f(x,k), ohne die Verwendung eines Funktionsparameters P.
   
• Interaktiv I:
  
  Ohne Parameter: Interaktive Darstellung einer Überlagerung mit y = f(x,k), ohne die Verwendung eines Funktionsparameters P - Hierbei wird lediglich die Veränderung des Summationsbereichs ermöglicht.
   
  Mit Parameter: Interaktive Darstellung einer Überlagerung mit y = f(x,k,p), unter Verwendung eines Funktionsparameters P - Hierbei wird die Veränderung des Summationsbereichs, sowie eine Veränderung des Parameterwerts P ermöglicht.
   
• Interaktiv II:
  Interaktive Darstellung einer Überlagerung mit y = f(x,k,p), unter Verwendung eines Funktionsparameters P - Hierbei wird ausschließlich die Veränderung des Parameterwerts P ermöglicht.

Nachfolgend wird auf die o.a. Auswahl der wählbaren Darstellungsarten eingegangen. Es sind dies folgende Kapitel:
 

• 1. Harmonische Synthese - Statisch
• 2. Harmonische Synthese - Interaktiv I - Ohne Funktionsparameter P
• 3. Harmonische Synthese - Interaktiv I - Mit Funktionsparameter P
• 4. Harmonische Synthese - Interaktiv II

  Zur Verfügung stehende Möglichkeiten bei einer Nutzung der Option Statisch:
 

• Darstellung der Gesamtfunktionen nach Ausführung einer harmonischen Synthese mit der definierten Funktion, unter Verwendung von k = n Überlagerungen.
• Darstellung einzelner Funktionen nach Ausführung einer harmonischen Synthese mit der definierten Funktion, unter Verwendung von k = 1 bis k = n Überlagerungen.

Um sich Zusammenhänge dieser Art auf diese Weise (statisch) grafisch zu veranschaulichen, gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor:
 

1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Statisch.
    
2. Definieren Sie die entsprechende Funktion mit Parameter k, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,k,p) = ohne die Benutzung eines Funktionsparameters P.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe ganzzahliger Werte den Summationsbereich für Parameter k in den entsprechenden Feldern fest (Summationsbereich von k1 = und bis k2 =).
    
4. Wählen Sie, ob die Darstellung einzelner Funktionen nach Durchführung einer bestimmten Anzahl von Summierungen (Nur Einzelfunktionen ...), oder lediglich nach Durchführung aller Summierungen bis zum Wert k2 (Gesamtfunktion) ausgegeben werden soll. Bei Wahl der Darstellung von Einzelfunktionen geben Sie die entsprechenden Nummern für den zu verwendenden Summationsparameter k in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
5. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.

   
Die zur Verfügung stehende Möglichkeit bei Nutzung der Option Interaktiv I - Ohne Funktionsparameter P lautet: Darstellung einer Funktion (ohne Funktionsparameter P) nach Ausführung einer harmonischer Synthese, unter Anwendung von k = 1 bis k = n Überlagerungen.



Um derartige Untersuchungen durchzuführen, führen Sie Folgendes aus:
 

1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Interaktiv I.
    
2. Definieren Sie die entsprechende Funktion gemäß den geltenden Syntaxregeln, unter Verwendung des Parameters k im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,k,p) = ohne die Benutzung eines Funktionsparameters P.
    
3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Verändern Sie den Summationsbereich (Anzahl durchzuführender Überlagerungen) für den Parameter k durch eine Bedienung des Rollbalkens Summationsbereich.
    
5. Um den Summationsbereich simulativ verändern zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung dieser wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diese bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

   
Die zur Verfügung stehende Möglichkeit bei Nutzung der Option Interaktiv I - Mit Funktionsparameter P lautet: Darstellung einer parameterhaltigen Funktion (mit Funktionsparameter P) nach Ausführung einer harmonischer Synthese, unter Anwendung von k = 1 bis k = n Überlagerungen.
 

 
Um Sachverhalte zu diesem Thema in dieser Form zu analysieren, führen Sie nachfolgend Geschildertes aus:
 

1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Interaktiv I.
    
2. Definieren Sie die entsprechende Funktion gemäß den geltenden Syntaxregeln, unter Verwendung des Parameters k im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,k,p) = unter der Benutzung eines Funktionsparameters P.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe ganzzahliger Werte den Summationsbereich für Parameter k in den entsprechenden Feldern fest (Summationsbereich von k1 = und bis k2 =).
    
4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
5. Verändern Sie den Summationsbereich (Anzahl durchzuführender Überlagerungen) für Parameter k durch eine Bedienung des Rollbalkens Summationsbereich.
    
6. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
    
7. Um den Summationsbereich simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung dieser wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt.
   
   Wählen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollschalters Summationsbereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.
   
   Vor Ausführung einer Summationsbereichsimulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Hierauf können Sie den für die Verzögerung zu verwendenden Wert einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

   
Zur Verfügung stehende Möglichkeiten bei Nutzung der Option Interaktiv II:
 

• Darstellung der parameterhaltigen Gesamtfunktionen (mit Funktionsparameter P) nach Ausführung einer harmonischer Synthese mit der definierten Funktion, unter Anwendung von k = n Überlagerungen.
• Darstellung einzelner parameterhaltiger Funktionen (mit Funktionsparameter P) nach Ausführung einer harmonischer Synthese mit der definierten Funktion, unter Anwendung von k = 1 bis k = n Überlagerungen.

 
Grundsätzliches bezüglich der Nutzung von Funktionsparametern bei der Darstellung mathematischer Funktionen finden Sie unter Verwendung von Funktionsparametern.

Untersuchen und grafisch darstellen lassen können Sie sich Zusammenhänge dieser Art auf folgende Art und Weise:
 

1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Interaktiv II.
    
2. Definieren Sie die entsprechende Funktion gemäß den geltenden Syntaxregeln, mit Parameter k im Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,k,p) = unter Verwendung eines Funktionsparameters P.
    
3. Wählen Sie, ob die Darstellung einzelner Funktionen nach Durchführung einer bestimmten Anzahl von Summierungen (Nur Einzelfunktionen ...), oder lediglich nach Durchführung aller Summierungen bis zum Wert k2 (Gesamtfunktion) ausgegeben werden soll. Bei Wahl der Darstellung von Einzelfunktionen geben Sie die entsprechenden Nummern für den zu verwendenden Summationsparameter k in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
5. Definieren Sie, wie zuvor beschrieben, den zu durchlaufenden Parameterwertebereich für Funktionsparameter P und die gewünschte Schrittweite durch eine Bedienung des Schalters Parameter P.
    
6. Um den Summationsbereich simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung dieser wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt.
   
   Wählen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollschalters Summationsbereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.
   
   Vor Ausführung einer Summationsbereichssimulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Hierauf können Sie den für die Verzögerung zu verwendenden Wert einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 
Definieren Sie den Term SIN(X*(2*K-1))/(2*K-1) im dafür vorgesehenen Feld f(x,k,p) = und aktivieren Sie den Kontrollschalter Nur Einzelfunktionen Nr.
 
Geben Sie hierauf die Zahlen 1, 2, 3, 4 sowie 5 in die entsprechenden Felder ein und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 
Es werden die Summen der Funktionen f(x,k) = SIN(X*(2*K-1))/(2*K-1) über einen Summationsbereich von 1 £ K £ 5 gebildet und separat ausgegeben. Hierbei ist zu erkennen, dass sich die Kurve mit zunehmendem Wert für K stets besser dem Verlauf einer Rechteckkurve nähert.
 
Folgende Gesamtfunktionen werden dargestellt:
 
bei K = 1: SIN(X*(2*1-1))/(2*1-1)
bei K = 2: SIN(X*(2*1-1))/(2*1-1) + SIN(X*(2*2-1))/(2*2-1)
bei K = 3: SIN(X*(2*1-1))/(2*1-1) + SIN(X*(2*2-1))/(2*2-1) +
              SIN(X*(2*3-1))/(2*3-1)
bei K = 4: SIN(X*(2*1-1))/(2*1-1) + SIN(X*(2*2-1))/(2*2-1) +
              SIN(X*(2*3-1))/(2*3-1) + SIN(X*(2*4-1))/(2*4-1)
bei K = 5: SIN(X*(2*1-1))/(2*1-1) + SIN(X*(2*2-1))/(2*2-1) +
              SIN(X*(2*3-1))/(2*3-1) + SIN(X*(2*4-1))/(2*4-1) +
              SIN(X*(2*5-1))/(2*5-1)
 
Werden zuvor durchgeführte Einstellungen beibehalten und wird der Funktionsterm f(x,k) = COS(X*(2*K-1))/(2*K-1)^2 definiert, so wird eine Dreieckskurve beschrieben. Bei Überlagerung der Funktionen f(x,k) = (-1)^K*2*SIN(K*X)/(-K) wird eine Sägezahnkurve ausgegeben. 
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

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Unterprogramm Harmonische Synthese
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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