MathProf - Gleichung 2. Grades - Gleichung 3. Grades - Lösen

 

Modul Gleichungen 2. - 4. Grades

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Das kleine Unterprogramm [Algebra] - Gleichungen 2.- 4. Grades ermöglicht die Ermittlung reeller, wie komplexer Lösungen von Funktionsgleichungen (Polynomen) höheren Grades (Gleichungen zweiten bis vierten Grades).

 

Für die Lösungen von Gleichungen (Polynomen) bis 4. Grades (biquadratische Gleichungen) existieren bereits seit dem Mittelalter Lösungsformeln. Durch eine Verwendung dieser ist es außerdem möglich, die Lösungen derartiger Gleichungen innerhalb des Bereichs der komplexen Zahlen zu ermitteln. Mit Hilfe dieses Unterprogramms können Sie sich die reellen, wie auch komplexen Lösungen von Gleichungen (komplexe Nullstellen) folgender Form errechnen lassen:
 

 

bzw.
 

 
Es ermöglicht die Darstellung und erlaubt die Untersuchung von Gleichungen zweiten Grades, Gleichungen dritten Grades sowie Gleichungen vierten Grades.

Biquadratische Gleichungen: Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung vierten Grades, die keine ungeradzahligen Exponenten enthält. Sie besitzt die Form a·x⁴ + b·x² + c = 0 und ist ein Sonderfall der zuvor aufgeführten Gleichungen.

Eine Gleichung 2. Grades (Gleichung 2. Ordnung) besitzt die Form ax² + bx + c = 0 (a , b , c ∈ ℝ sowie a ≠ 0)
Eine Gleichung 3. Grades (Gleichung 3. Ordnung) besitzt die Form ax³ + bx² + cx + d = 0 (a , b , c, d ∈ ℝ sowie a ≠ 0)
Eine Gleichung 4. Grades (Gleichung 4. Ordnung) besitzt die Form ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 (a , b , c, d, e ∈ ℝ sowie a ≠ 0)

Eine Parabel 2. Ordnung (ein Polynom 2. Grades) besitzt die Form y = ax² + bx + c (a , b , c ∈ ℝ sowie a ≠ 0)
Eine Parabel 3. Ordnung (ein Polynom 3. Grades) besitzt die Form y = ax³ + bx² + cx + d (a , b , c, d ∈ ℝ sowie a ≠ 0)
Eine Parabel 4. Ordnung (ein Polynom 4. Grades) besitzt die Form y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e (a , b , c, d, e ∈ ℝ sowie a ≠ 0)

Hinweis:

Durch die Eingabe von Zahlenwerten können lediglich die Lösungen von Gleichungen ab Grad 2 errechnet werden. Achten Sie deshalb bei der Eingabe von Werten darauf, dass hierdurch eine derartige Gleichung beschrieben wird.

 

 

 

Verfahren Sie wie nachfolgend beschrieben, um Gleichungen höheren Grades dieser Art mit Hilfe dieses Moduls lösen zu lassen und sich themenrelevante Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
 

1. Geben Sie die Koeffizientenwerte der entsprechenden Gleichung in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    

2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    

3. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen erfolgt die Ausgabe der grafischen Darstellung.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Lsg. markieren: Markierung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
• Lsg. beschr.: Beschriftung ermittelter Lösungen (reeller Nullstellen) ein-/ausschalten
• 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten
• 2. Ableitung: Darstellung der 2. Ableitung der Funktion ein-/ausschalten 

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Funktionsschnittpunkte

Gleichungen

Mathematische Funktionen I

 

 
Beispiel 1:

Es gilt, die Lösungen der folgenden Gleichung höheren Grades ermitteln zu lassen:

y = -2·x³+2·x²+x-1 = 0
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach Eingabe der Koeffizientenwerte 0 / -2 / 2 / 1 und -1 in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden folgende reelle Lösungen ausgegeben:

x1 = -0,7071

x2 = 1

x3 = 0,7071
 

Beispiel 2:

Es sind die Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichung zu ermitteln:

y = 0,05·x⁴-0,3·x³+0,4·x²+4·x+2 = 0
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Festlegung der Koeffizientenwerte 0,05 / -0,3 / 0,4 / 4 und 2 in den entsprechenden Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Reelle Lösungen:

x3 = -0,54249

x4 = -2,30685

 

Komplexe Lösungen:

x1 = 4,426167 + j3,5932

x2 = 4,426167 - j3,5932
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Polynom zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
 

 

Startfenster des Unterprogramms Gleichungen 2.- 4. Grades
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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