MathProf - Gerade - Lineare Funktion - Punkt - Punktprobe - Abstand Gerade Punkt

Modul Gerade - Punkt

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Gerade - Punkt ermöglicht die Durchführung von Analysen mit Punkten und Geraden (linearen Funktionen).

 

In diesem Modul können folgende Untersuchungen durchgeführt werden:

• Ermittlung des Abstands eines Punktes von einer Geraden (Abstand Punkt - Gerade, Nomalabstand, Entfernung berechnen)
• Ermittlung der Gleichung der Lotgeraden (Orthogonalen) durch einen Punkt auf eine Gerade, sowie Ermittlung des entsprechenden Lotfußpunkts

 
Zudem werden folgende Eigenschaften der Geraden ermittelt und ausgegeben:

• Funktionsgleichungen der Geraden (Geradengleichungen)
• Nullstellen der Geraden
• Neigungswinkel der Geraden bzgl. der Abszisse
• Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung

 
Geradengleichungen (Funktionsgleichungen) können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:
 
1. Steigungs-Form der Gerade
 
  y = m·x+b

2. Zwei-Punkte-Form der Gerade
 

3. Hessesche Normalenform der Gerade
 
  x·cos(β)+y·sin(β) = p

4. Achsenabschnittsform der Gerade
  

5. Allgemeine Form der Gerade

   a·x + b·y + c = 0
 

 
Entfernung berechnen:

Allgemein gilt für die Berechnung des Abstands (der Entfernung) eines Punktes P(x;y) von einer Geraden der Form Ax + By + C = 0 folgender Zusammenhang (Abstandsformel):
 

Normalabstand: Der Normalabstand ist die kürzeste Entfernung eines Punktes von einer Gerade.

Eine Gerade wird als Lotgerade (Lotrechte) bezeichnet, wenn diese sich mit einer anderen Gerade im rechten Winkel schneidet. Der Punkt in dem sich beide Geraden schneiden wird Lotfußpunkt genannt.
 

 
Mit Hilfe einer Punktprobe wird numerisch überprüft, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Gerade oder einer anderen Funktion (z.B. einer Parabel) liegt. Hierbei werden die Koordinatenwerte des zu überprüfenden Punktes P(x|y) in die entsprechende Funktion eingesetzt. Resultiert hierbei eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Gerade (Funktion). Proben dieser Art werden unter anderem mit Funktionsgraphen im zweidimensionalen Koordinatensystem sowie mit Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem durchgeführt.

Beispiele:

Es ist eine Punktprobe  mit einer Gerade durchzuführen, die durch die Funktionsgleichung y = 4/5x-2 beschrieben wird. Hierbei ist rechnerisch zu prüfen, ob die Punkte A (3|-4) oder B (1|-6/5) auf dieser Gerade liegen.

Durch Einsetzen der Koordinatenwerte des Punktes A in die Funktionsgleichung der Gerade kann dies durchgeführt werden:

y = 4/5⋅x-2

-4 = 4/5⋅(3)-2
-4 = 2/5

Ergebnis: Diese Aussage ist falsch. Punkt A liegt nicht auf der Gerade.


Nach einem Einsetzen der Koordinatenwerte des Punktes B in die Funktionsgleichung der Gerade ergibt sich.

y = 4/5⋅x-2

-6/5 = 4/5⋅(1)-2
-6/5 = 4/5-10/5
-6/5 = -6/5

Ergebnis: Diese Aussage ist richtig. Punkt B liegt auf der Gerade.
 

 

 
Untersuchungen mit Geraden und Punkten können Sie in diesem Unterprogramm folgendermaßen durchführen:
 

1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform (Art der Geradengleichung) der Gerade g auszuwählen.
    
2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden in die dafür zur Verfügung stehenden Eingabefelder ein:
   
   Gerade in Steigungsform: Steigung m und Koeffizient b
   Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel b und Koeffizient p
   Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b 
   Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c 
   Gerade in Zwei-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2
    
3. Definieren Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den rechtsseitig angeordneten Eingabefeldern.
    
4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
    
5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

   

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Bedienformular

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Nullstelle: Markierung der Nullstelle der Gerade ein-/ausschalten
• Lotfußpunkt: Darstellung des Lotfußpunkts ein-/ausschalten
• Geradenpunkte: Markierung der Geradenpunkte ein-/ausschalten (bei Zwei-Punkte-Form)
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein /ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Gerade – Punkt - Interaktiv

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Geradensteigung

 

Beispiel 1:

Von einer Gerade g sei bekannt, dass diese in Achsenabschnittsform definiert ist und die Achsenabschnitte dieser die Werte a = 4 und b = 6 besitzen. Es gilt, wesentliche Eigenschaften dieser linearen Funktion, den Abstand des Punktes P (-8 / -5) zu dieser, sowie die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Achsenabschnittsform aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte a = 24 und b = 6 für die Gerade, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Definierte Funktionsgleichung der Gerade: X/4 + Y/6 = 1

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = -1,5·X+6

 

Steigung der Gerade: m = -1,5

Steigungswinkel der Gerade: -56,31°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,328

Nullstelle der Gerade: N (4 / 0)

Schnittpunkt der Gerade mit Y-Achse: Sy (0 / 6)

 

Abstand des Punktes P vom Ursprung: d = 9,434

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 12,758

 

Gleichung der Lotgerade, welche durch P verläuft: Y = 0,667·X+0,333

Lotfußpunkt: L (2,615 / 2,077)

Beispiel 2:

Eine Gerade g sei durch die Funktion Y = -4·X+5 definiert. Es gilt, wesentliche Eigenschaften der Geraden, den Abstand des Punktes P (6 / 8) zu dieser, sowie die Gleichung der Lotgeraden durch Punkt P ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Normalform aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte m = -4 und b = 5 für die Gerade, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Feldern und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Definierte Funktionsgleichung der Gerade: Y = -4·X+5

 

Steigung der Gerade: m = -4

Steigungswinkel der Gerade: -75,964°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 1,213

Nullstelle der Gerade: N (1,25 / 0)

Schnittpunkt der Gerade mit Y-Achse: Sy (0 / 5)

 

Abstand des Punktes P vom Ursprung: d = 10

Abstand des Punktes P von der Gerade: d = 6,548

 

Gleichung der Lotgerade, welche durch P verläuft: Y = 0,25·X+6,5

Lotfußpunkt: L (-0,353 / 6,412)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Lineare Funktion
Wikipedia - Achsenabschnittsform
Wikipedia - Punktsteigungsform
Wikipedia - Zweipunkte-Form
Wikipedia - Hessesche Normalenform

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Gerade - Punkt
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gerade-Gerade - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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