MathProf - Geradenschnittpunkt - Zwei Geraden - Schnittwinkel - Lage

 

Modul Gerade - Gerade

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Gerade] - Gerade- Gerade ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen bzgl. der Eigenschaften einer Gerade, sowie der Schnitte zweier Geraden. Auch der Abstand paralleler Geraden (parallel liegender Geraden) kann ermittelt werden. 

 

Geradengleichungen (lineare Funktionen) können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:
 

1. Steigungs-Form der Gerade
 
  y = m·x+b

2. Zwei-Punkte-Form der Gerade
 

3. Hessesche Normalenform der Gerade
 
  x·cos(β)+y·sin(β) = p

4. Achsenabschnittsform der Gerade
  

5. Allgemeine Form der Gerade

   a·x + b·y + c = 0
 
 

Bei der Durchführung von Untersuchungen in diesem Modul werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:
 

• Funktionsgleichungen der Geraden
• Nullstellen der Geraden
• Schnittpunkt der Geraden
• Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse
• Winkelhalbierende der Geraden

    
Hinsichlich ihrer gegenseitigen Lage können zwei Geraden folgende Eigenschaften besitzen. Sie besitzen

- keinen Schnittpunkt
- exakt einen Schnittpunkt
- unendlich viele Schnittpunkte

Um dies zu untersuchen, werden die beiden Funktionsgleichungen f(x) und g(x) der beiden Geraden gleichgesetzt. Es gilt: f(x) = g(x). Durch das Lösen dieser Gleichung können sich drei verschiedene Resultate bilden:

1. Es existiert exakt eine Lösung → Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt
2. Es existiert keine Lösung → Die beiden Geraden schneiden sich nicht, sie verlaufen parallel zueinander
3. Es existieren unendlich viele Lösungen → Die beiden Geraden liegen aufeinander

Identische Geraden:
Zwei Geraden werden als identisch (zusammenfallend oder deckungsgleich) bezeichnet, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind und sie einen gemeinsamen Punkt besitzen.

Parallele Geraden:
Zwei Geraden liegen parallel, wenn sie durch eine Verschiebung ineinander übergeführt werden können und einander nicht schneiden (keinen gemeinsamen Punkt besitzen). Sie liegen parallel wenn ihre Richtungsvektoren kollinear (linear abhängig voneinander) sind.

Schneidende Geraden - Schnittpunkt zweier Geraden:
Zwei Geraden schneiden einander in einem Punkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt, ihren Schnittpunkt, besitzen. Zwei Geraden schneiden einander, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen, sie einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind.

Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier verschiedener Geraden der Form ax₁ + by₁ + c = 0 und ax₂ + by₂ + c = 0
lauten:

x_s = (b₁·c₂ - c₁·b₂) / (a₁·b₂ - a₂·b₁)
y_s = (a₂·c₁ - a₁·c₂) / (a₁·b₂ - a₂·b₁)

Der Schnittwinkel zweier verschiedener Geraden der Form y = m₁·x + b₁ und y = m₂·x + b₂ lässt sich berechnen mit:

tan φ = (m₂ - m₁) / (1 + m₁·m₂), für m₂ > m₁.
 
Windschiefe Geraden:
Zwei Geraden liegen (im Raum) zueinander windschief, wenn sie nicht parallel verlaufen und sich nicht schneiden. Zwei Geraden sind windschief, wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und sie keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

Orthogonale Geraden:
Zwei Geraden in der Ebene stehen aufeinander senkrecht (sind zueinander orthogonal), wenn diese sich unter einem rechten Winkel (90°) schneiden. Die Bedingung für die Orthogonalität zweier derartiger Geraden lautet: tan α₁ · tan α₂ = -1 bzw.  m₁ · m₂ = -1.
   

 

Analysen mit Geraden können Sie in diesem Modul folgendermaßen durchführen:
 

1. Möchten Sie Analysen mit nur einer Geraden durchführen, so wählen Sie den Eintrag Gerade g1 bzw. Gerade g2 aus der aufklappbaren Auswahlbox im Formularbereich Einstellung. Sollen hingegen Analysen mit zwei Geraden durchgeführt werden, so wählen Sie den Eintrag Beide Geraden.
    
2. Benutzen Sie die linksseitig angeordnete, aufklappbare Auswahlbox um die Definitionsform der Gerade g1 auszuwählen und die rechtsseitig angeordnete, aufklappbare Auswahlbox mit der Bezeichnung g2, um die Definitionsform der zweiten Gerade g2 zu selektieren.
    
3. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:
   
   Gerade in Steigungsform: Steigung m und Koeffizient b
   Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel β und Koeffizient p
   Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b 
   Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c 
   Gerade in Zwei-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2
    
4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
    
5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Bedienformular

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Nullstellen: Markierung der Nullstelle(n) der Funktion(en) ein-/ausschalten
• Schnittpunkt: Darstellung des Schnittpunkts zweier Geraden ein-/ausschalten
• Winkelhalb: Darstellung der Winkelhalbierenden zweier Geraden ein-/ausschalten
• Geradenpunkte: Markierung der Geradenpunkte (bei Zwei-Punkte-Form) ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Gerade - Gerade - Interaktiv

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

 

Beispiel 1 - Gerade in Achsenabschnittsform:

Von einer Gerade g sei bekannt, dass diese in Achsenabschnittsform definiert ist und die Achsenabschnitte dieser die Werte a = 12 und b = 3 besitzen. Es sind die Eigenschaften dieser Gerade zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Gerade g1 aus der Auswahlbox im Formularbereich Einstellung und aus der linksseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Achsenabschnittsform.

Nach einer Eingabe der Werte in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Funktionsgleichung der Gerade: X/(12) + Y/3 = 1

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = -0,25·X+3

Steigung der Gerade: m = -0,25

Steigungswinkel der Gerade: -14,036°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 2,91

Nullstelle: N (12 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 3)
 

Beispiel 2 - Zwei Geraden in 2-Punkte-Form:

Eine Gerade g1 verlaufe durch die Punkte P1 (1 / 0) und  P2 (0 / 2). Von einer zweiten Gerade g2 sei bekannt, dass diese durch die Punkte Q1 (3 / 5) und Q2 (0 / 4) verlaufe. Es gilt die Eigenschaften der Gerade ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Beide Geraden aus der aufklappbaren Auswahlbox im Formularbereich Einstellung, sowie aus der linksseitig, als auch aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag 2-Punkte-Form.

Geben Sie die Werte der vier Punkte in die dafür relevanten Felder ein, so ermittelt das Programm nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen:

Für Gerade g1:

 

Funktionsgleichung der Gerade: Y = -2·X+2

Steigung der Gerade: m = -2

Steigungswinkel der Gerade: -63.435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,894

Nullstelle: N (1 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 2)

 

Für Gerade g2:

 

Funktionsgleichung der Gerade: Y = 0,333·X+4

Steigung der Gerade: m = 0,333

Steigungswinkel der Gerade: 18.435°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3,795

Nullstelle: N (-12 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 4)

 

Für den Schnitt der beiden Geraden:

 

Schnittpunkt: S (-0,857 / 3,714)

 

Für die Winkelhalbierenden der beiden Geraden:

 

Winkelhalbierende 1: Y = -0,414·X+3,359

Winkelhalbierende 2: Y = 2,414·X+5,784
 

Beispiel 3 - Gerade in Hessescher Normalenform und Gerade in allgemeiner Form:

Eine Gerade g1 besitze den Abstand von p = 3 vom Ursprung und deren Winkel zwischen dem Lot p und der positiven x-Richtung betrage 315°. Diese kann somit in Hessescher Normalenform beschrieben werden mit der Gleichung X·COS(315°) + Y·SIN(315°)+ 3 = 0. Von einer weiteren Gerade g2 sei bekannt, dass diese in allgemeiner Form definiert ist und deren Koeffizienten die Werte a = -5, b = 2 sowie c = -4 besitzen. Es gilt die Eigenschaften der Geraden ermitteln zu lassen und deren Schnittpunkt zu bestimmen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Beide Geraden aus der aufklappbaren Auswahlbox im Formularbereich Einstellung. Legen Sie in der linksseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Hessesche Normalenform fest und geben Sie die Werte für β = 315 und p = 3 in die dafür vorgesehenen Felder ein. Legen Sie in der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Allgemeine Form fest und geben Sie die Werte für a = -5, b = 2 und c = -4 in die entsprechenden Felder ein.

Führen Sie hierauf einen Klick auf die Schaltfläche Berechnen aus, so ermittelt das Programm:

Für Gerade g1:

 

Definierte Gleichung der Gerade: X·COS(315°) + Y·SIN(315°)+ 3 = 0

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 1·X-4,243

Steigung der Gerade: m = 1

Steigungswinkel der Gerade: 45°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 3

Nullstelle: N (4,243 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / -4,243)

 

Für Gerade g2:

 

Definierte Gleichung der Gerade: -5·X + 2·Y - 4 = 0

Gleichung der Gerade in Normalform (Steigungsform): Y = 2,5·X+2

Steigung der Gerade: m = 2,5

Steigungswinkel der Gerade: 68,199°

Abstand der Gerade vom Ursprung: d = 0,743

Nullstelle: N (-0,8 / 0)

Schnittpunkt mit Y-Achse: Sy (0 / 2)

 

Für den Schnitt der beiden Geraden:

 

Schnittpunkt: S (-4,162 / -8,404)

 

Für die Winkelhalbierenden der beiden Geraden:

 

Winkelhalbierende 1: Y = 1,517X-2,093

Winkelhalbierende 2: Y = -0,659·X-11,149
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Gerade zu finden.

   

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Gerade - Gerade
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Hessesche Normalenform einer Gerade

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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