MathProf - Geometrische Reihe - Geometrische Zahlenfolgen

 

Modul Geometrische Zahlenfolgen - Interaktiv

---

 
Zur Durchführung einer prinzipiellen Analyse der Zusammenhänge bei geometrischen Zahlenfolgen steht das Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Geometrische Zahlenfolgen - Interaktiv zur Verfügung.

Eine geometrische Zahlenfolge zeichnet sich dadurch aus, dass sie eine konstante Quotientenfolge aufweist, d.h. der Quotient zweier benachbarter Glieder ist konstant (wenn q <> 1).

Darstellungsarten einer geometrischen Zahlenfolge:
 
a_n = a₁ + q^n-1
a_n+1 = a_n·q 
a_n = Ö(a_n-1·a_n+1)
 
mit a₁ ¹ 0 und q ¹ 0
 
Es gilt:
 
q < 0: Folge alternierend
0 < q < 1: Folge monoton fallend
q = 1: Folge konstant
q > 1: Folge monoton wachsend
 
Partialsumme:
 
mit q ¹ 1 gilt:
 


Verwendete Bezeichnungen:
 

q:	Quotient zweier benachbarter Glieder
a1:	Anfangsglied einer Folge
an:	n-tes Glied einer Folge
n:	Anzahl der Glieder der Folge
sn:	n-te Partialsumme der ersten n Glieder
a(k):	Definitionsgleichung

 
Dieses Unterprogramm bietet die Möglichkeit, den Einfluss bestimmter Größen auf geometrische Zahlenfolgen interaktiv zu untersuchen.
  Gehen Sie folgendermaßen vor, um eine interaktive Analyse mit geometrischen Zahlenfolgen durchzuführen:
 

1. Verändern Sie die Werte der zur Verfügung stehenden Parameter durch die Positionierung der entsprechenden Rollbalken:
    Glied a(1): Anfangsglied a₁ der Folge
   Glied a(n): n-tes Glied der Folge
   Anzahl n: Anzahl der Glieder der Folge
   Startwert Nr.: Nummer des ersten darzustellenden Gliedes einer Folge
    
2. Benutzen Sie die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.
    
3. Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation um die Auswirkung der Änderung von Parametergrößen zu untersuchen und beenden Sie diese wieder durch einen erneuten Klick auf diese Schaltfläche. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierenden Einflussgrößen durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Ändern Sie diesen bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

• Beschriftung: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Zahlenfolgen
Zahlenfolgen - Interaktiv I
Zahlenfolgen - Interaktiv II
Rekursive Zahlenfolgen
Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv I
Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II
Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen
Arithmetische Zahlenfolgen - Interaktiv
 

 
Werden die Rollbalken wie folgt positioniert:
 
Gied a(1): 2
Glied a(n): 6
Anzahl n: 40
 
so gibt das Programm aus:
 
Definitionsgleichung der geometrischen Zahlenfolge: a(k) = 2·1,029^(K-1)
Differenz zweier benachbarter Glieder d: 1,029
Partialsumme der ersten 40 Glieder s_n: 146,007
  

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Geometrische Folge zu finden.

 

 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen  - Geometrische Lösung quadratischer Gleichungen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton - Interaktiv - Interpolation nach Lagrange - Interaktiv - Polynomregression - Interaktiv - Nullstellen - Iterationsverfahren - Interaktiv - Tangente - Normale - Interaktiv - Tangente - Sekante - Interaktiv - Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv - Simpson-Regel - Keplersche Fassregel - Spline-Interpolation - Spline-Interpolation - Interaktiv - Bézier-Kurven - Astroide - Kardioide - Konstruktion einer Kardioide - Konstruktion einer Hypozykloide - Konchoide - Lemniskate - Cassinische Kurven - Pascalsche Schnecke - Trisektrix - Zweiblatt-Kurve - Konstruktion krummliniger Kurven - Logarithmische Spirale - Konstruktion - Hyperbolische Spirale - Fourier-Analyse (Fast Fourier Transformation - FFT) - Taylor- und Potenzreihen - Interaktiv - Harmonische Synthese - Analyse implizit definierter Gleichungen - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II - Schnittkurven von Flächen in expliziter Form - Zahlenfolgen - Interaktiv II - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II - Arithmetische Zahlenfolgen - Interaktiv - Funktionen in Parameterform - Polarkoordinaten - Funktionen in Polarform - Variante - Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform - Tangente - Normale mit Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Interaktiv - Inverse von Funktionen - Gemeinsame Darstellung von Kurven verschiedener Darstellungsformen - Ermittlung von Funktionsparametern - Funktionsschnittpunkte - Interaktiv - Kettenlinie - Funktionsstetigkeit
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

---

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---