MathProf - Galton-Brett - Simulation - Galton board - Möglichkeiten
Fachthema: Galton-Brett
MathProf - Stochastik - Statistik - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur interaktiven Simulation von Zufallsexperimenten mit Hilfe des Galton-Bretts.
Hierbei erfolgt die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Berechnung der empirischen und theoretischen Wahrscheinlichkeit zum Eintreffen des Ereignisses, dass eine das Galton-Brett durchfallende Kugel in einen bestimmten Schacht dessen fällt.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Galtonbrett - Galton board - Galtonsches Nagelbrett - Galtonsches Brett - Galton-Brett - Nagelbrett - Spiel - Empirische Wahrscheinlichkeit - Theoretische Wahrscheinlichkeit - Binomialverteilung - Bernoulli - Bild - Plotter - Stufen - Funktionsweise - Tabelle - Graph - Rechner - Animation - Simulation - Wege - Wahrscheinlichkeit - Erwartungswert - Grafik - Darstellung - Berechnung - Simulator - Darstellen - Möglichkeiten - Anzahl - Was - Wie - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Bedeutung - Einführung - Konzept - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Begriff - Begriffe - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Funktion - Mögliche Wege - Aufbau - Funktion - Berechnen - Auswertung - Auswerten - Zufall - Zufallsexperiment - Wahrscheinlichkeitsrechnung |
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Galton-Brett
Modul Galton-Brett
Im Unterprogramm [Stochastik] - Galton-Brett können Zufallsexperimente mit dem Galton-Brett simuliert werden.
Das Galton-Brett (oder Galtonbrett) dient der Veranschaulichung binomialverteilter Größen. Benannt wurde es nach dem englischen Naturforscher Sir Francis Galton (1822 - 1911). Es wird auch als Galton board, Galtonsches Nagelbrett, Galtonsches Brett oder Nagelbrett bezeichnet.
Als Galton Brett wird eine dreieckförmige Anordnung bezeichnet, in welche von oben Kugeln geworfen werden können, die unten in einem von mehreren angeordneten Fächern landen können, nachdem diese auf ihrem Weg dahin mehrere Hindernisse überwinden musste. Bei jedem dieser Hindernisse beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nach links oder rechts fällt exakt p = 0.5. Werden sehr viele Kugeln in dieses Galton-Brett geworfen, so kann festgestellt folgendes werden:
Außerhalb dieses Bereichs befinden sich nur wenige Kugeln, während sich in der Mitte mehr Kugeln befinden.
Mit Hilfe dieser Methode wird das statistische Konzept der Binomialverteilung verdeutlicht.
Auf einem Brett sind n Nagelreihen waagrecht derart platziert, dass die jeweils übereinanderliegenden Nagelreihen zueinander auf Lücke stehen. Lässt man hinreichend viele Kugeln über die Nagelreihen hinabrollen, so werden diese beim Auftreffen auf einen Nagel zufällig nach links unten, oder nach rechts unten, abgelenkt bis sie letztendlich in einen der n+1 Schächte unterhalb der n-ten und letzen Nagelreihe fallen, dort gesammelt und gezählt werden.
Beim Auftreffen einer Kugel an einem Nagel wird diese mit einer Wahrscheinlichkeit p nach rechts, bzw. q = 1-p nach links abgelenkt. Jede Ablenkung einer Kugel durch einen Nagel stellt ein Bernoulli-Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten p und q dar. Das Durchlaufen von n Nagelreihen ist somit als n-malige Durchführung eines Bernoulli-Experiments aufzufassen.
Die Anzahl möglicher Wege je Schacht ergibt sich mit 2n, wobei für n die Zahl des jeweiligen Schachts eingesetzt wird. Je Schacht existieren für eine Kugel jeweils zwei Möglichkeiten (nach links oder nach rechts) zu fallen. Die Anzahl möglicher Wege beträgt bei Stufe 3 beispielsweise 23 = 8.
Wird dieses Experiment häufig wiederholt, so sammeln sich die Kugeln, gemäß den Gesetzen der Binomialverteilung.
Liegt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit bei 50%, dass Kugeln an einem Nagel nach rechts abgelenkt werden, so liegt eine Binomialverteilung mit dem Parameterwert p = 0,5 vor.
Theoretische Wahrscheinlichkeit: Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, welche unabhängig von Erfahrung oder Wahrnehmung definiert wird.
Empirische Wahrscheinlichkeit: Als empirische Wahrscheinlichkeit wird diedie Wahrscheinlichkeit der tatsächlichen Beobachtungen bezeichnet.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Simulation
Zuvor beschriebene Zusammenhänge und Sachverhalte können Sie in diesem Unterprogramm untersuchen. Das Programm simuliert Zufallsereignisse dieser Art, gibt die ermittelte (empirische) Wahrscheinlichkeit aus und stellt diese der theoretischen Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der Ereignisse gegenüber.
Die Anzahl zu verwendender Schächte können Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Anzahl Schächte einstellen. Die Wahrscheinlichkeit mit der eine Kugel beim Auftreffen auf einen Nagel nach links abgelenkt wird, stellen Sie mit dem Rollbalken Wahrsch. f. Fallen nach links ein. Die Benutzung des Rollbalkens Verzögerung bietet die Möglichkeit die Simulationsgeschwindigkeit des Fallens der Kugeln einzustellen. Wurde vor Start einer Simulation das Kontrollkästchen Weg darstellen aktiviert, so wird der von fallenden Kugeln durchlaufene Weg dargestellt.
Starten können Sie die Simulation, indem Sie die Schaltfläche Start bedienen. Diese wird automatisch beendet, nachdem die maximale Anzahl aufnehmbarer Kugeln eines Schachts erreicht ist. Wird die Schaltfläche Stop zuvor bedient, so wird die Simulation angehalten.
Das Programm gibt die Anzahl, die empirische, sowie die theoretische Wahrscheinlichkeit der sich in einem Schacht befindenden Kugeln aus.
Weitere Themenbereiche
Binomialverteilung - grafische Analyse
Beispiel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Legen Sie mit Hilfe des Rollbalkens Anzahl Schächte die Anzahl der Brettschächte auf 8 fest und positionieren Sie den Rollbalken Wahrsch. f. Fallen nach links auf den Wert 0.5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen führt das Programm eine Simulation durch und gibt die Ergebnisse aus.
Vergleichen Sie die durch die Zufallsergebnisse ermittelten Werte (empirische Wahrscheinlichkeiten) mit den rechtsseitig angegeben Werten für die theoretischen Wahrscheinlichkeiten des Eintreffens der Ereignisse (bei einer Binomialverteilung), so kann man bereits bei der relativ geringen Anzahl von Wiederholungen (100) leicht erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten für das Gelangen einer Kugel in einen bestimmten Behälter durch eine Binomialverteilung beschrieben werden kann.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden. Dieses Modul kann auch dabei behilflich sein, einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Beispiel 1
Beispiel 2
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Galton-Brett zu finden.
Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Lotto-Simulation
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
