MathProf - Schnittpunkte - Graph - Funktion - Funktionsschnittpunkte

 

Modul Funktionsschnittpunkte

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Das Unterprogramm [Analysis] - Funktionsschnittpunkte bietet die Möglichkeit der numerischen Ermittlung und grafischen Darstellung der Schnittpunkte zweier verschiedener Funktionen (Kurvenschnittpunkte), welche in expliziter Form definiert sind.

 

Als Schnittpunkte werden gemeinsame Punkte von Kurven oder Flächen bezeichnet, den diese in der zweidimensionalen Ebene oder im dreidimensionalen Raum besitzen.

Dieses Modul ermöglicht die Durchführung einer iterativen Suche nach Schnittpunkten zweier derartiger Funktionen innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs.

 

Hierbei werden ermittelt und grafisch ausgegeben:
 

• Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Funktionen der Formen y = f1(x) und y = f2(x)
• Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten dieser Funktionen
• Eigenschaften der Krümmungskreise der Funktionen, welche durch diese Schnittpunkte verlaufen

 

 

Um die Schnittpunkte zweier Funktionen innerhalb eines bestimmten Untersuchungsbereichs ermitteln zu lassen, gehen Sie folgendermaßen vor:
 

1. Definieren Sie die beiden, den geltenden Syntaxregeln gemäß formulierten, Funktionen in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(x) = und f2(x) =.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten den Untersuchungsbereich fest, innerhalb dessen die Ermittlung durchgeführt werden soll (Untersuchen in Bereich von x1= und bis x2 =). (voreingestellt: -10 ≤ x ≤ 10)
    
3. Durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein bestimmen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Lösungen.
    
4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Schnittpunkte und weitere Ergebnisse bzgl. der Eigenschaften der Kurve in diesen ausgegeben.
    
5. Um sich die Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
6. Möchten Sie die Abszissenwerte des Untersuchungsbereichs exakt positionieren, so können Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
7. Um die Darstellung von Tangenten, Normalen und Krümmungskreisen in/durch Schnittpunkte zu ermöglichen, aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen Tangenten, Normalen bzw. Krümmungskreise und wählen aus der aufklappbaren Auswahlbox den entsprechenden Eintrag, um festzulegen für welche Kurve die entsprechenden Geraden oder Kreise auszugeben sind.

 
Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden ermittelte Schnittpunkte mit der Bezeichnung SP, sowie einem fortlaufenden Nummer-Index gekennzeichnet. Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear.
  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Tangenten: Darstellung der Tangenten der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen der entsprechenden Kurve in Schnittpunkten ein-/ausschalten
• Krümmungskreise: Darstellung der durch die Schnittpunkte der entsprechenden Kurve verlaufenden Krümmungskreise ein-/ausschalten
• Schnittpkt.: Markierung und Nummerierung ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten ermittelter Schnittpunkte ein-/ausschalten
• Bereich: Markierung des Untersuchungsbereichs ein-/ausschalten

  

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

Gleichungen

 

 

Beispiel 1:

 

Es gilt, die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = x²/10-2 und f2(x) = -x/5 ermitteln, sowie sich deren Eigenschaften in diesen Punkten ausgeben zu lassen.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition der Funktionsterme X^2/10-2 und -X/5 in den entsprechenden Eingabefeldern, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs -10 ≤ x ≤ 10 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Anzahl gefundener Schnittpunkte: 2

 

Schnittpunkt 1 der beiden Funktionen: SP1 (-5,5826 / 1,1165)
Schnittwinkel 1 der beiden Funktionen in SP1: -36,841°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1:

Tangente v. f1(x): Y = -1,1165·X - 5,1165
Normale v. f1(x): Y = 0,8956·X + 6,1165

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP1:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (6,9592 / 12,3495)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 16,8368
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt 1: kr = 0,0594

 

Schnittpunkt 2 der beiden Funktionen: SP2 (3,5826 / -0,7165)
Schnittwinkel 2 der beiden Funktionen in SP2: 46,932°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2:

Tangente v. f1(x): Y = 0,7165·X - 3,2835
Normale v. f1(x): Y = -1,3956·X + 4,2835

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP2:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (-1,8393 / 6,8505)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 9,3089
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt 2: kr = 0,1074

 

Anmerkungen:

Da es sich bei Funktion f2(x) um eine lineare Funktion handelt, und diese somit keine Tangenten, Normalen und Krümmungskreise in den Schnittpunkten besitzt, werden für diese keine Ergebnisse ausgegeben.

 

Die o.a. Ergebnisse können ebenso als Lösungen der Gleichung (Nullstellen der Funktion) Y = x²/10-2+x/5-2 angesehen werden, denn es wurden Lösungen gesucht, welche die Gleichungsbedingung erfüllen:

 

f1(x) = f2(x)

 

und es gilt:

 

f1(x)-f2(x) = 0

 

Beispiel 2:

 

Es sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen f1(x) = 4·sin(x/2+2) und f2(x) = -cos(x²/20) ermitteln zu lassen, sowie deren Eigenschaften in diesen Punkten auszugeben.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Definition der Funktionsterme 4*SIN(X/2+2) sowie -COS(X^2/20) in den entsprechenden Eingabefeldern, der Festlegung eines Untersuchungsbereichs -10 ≤ x ≤ 10 und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Anzahl gefundener Schnittpunkte: 3

 

Schnittpunkt 1 der beiden Funktionen: SP1 (-4,3019 / -0,6016)
Schnittwinkel 1 der beiden Funktionen in SP1: 82,137°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1:

Tangente v. f1(x): Y = 1,9773·X + 7,9044
Normale v. f1(x): Y = -0,5058·X - 2,7773

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP1:

Tangente v. f2(x): Y = -0,3436·X - 2,0799
Normale v. f2(x): Y = 2,91·X + 11,9169

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP1:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (-68,851 / 32,0443)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 72,3349
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP1: kr = 0,0138

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP1:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (-2,2925 / 5,2458)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 6,183
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP1: kr = 0,1617

 

Schnittpunkt 2 der beiden Funktionen: SP2 (2,752 / -0,9292)
Schnittwinkel 2 der beiden Funktionen in SP2: -68,604°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2:

Tangente v. f1(x): Y = -1,9453·X + 4,4244
Normale v. f1(x): Y = 0,5141·X - 2,3439

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP2:

Tangente v. f2(x): Y = 0,1017·X - 1,2092
Normale v. f2(x): Y = -9,8287·X + 26,1197

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP2:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (42,8162 / 19,6663)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 45,0478
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP2: kr = 0,0222

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP2:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (1,7944 / 8,4833)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 9,461
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP2: kr = 0,1057

 

Schnittpunkt 3 der beiden Funktionen: SP3 (8,9072 / 0,6783)
Schnittwinkel 3 der beiden Funktionen in SP3: -83,698°

 

Tangenten und Normalen der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP3:

Tangente v. f1(x): Y = 1,971·X - 16,878
Normale v. f1(x): Y = -0,5073·X + 5,1974

 

Tangenten und Normalen der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP3:

Tangente v. f2(x): Y = -0,6545·X + 6,5077
Normale v. f2(x): Y = 1,528·X - 12,9317

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f1(x) durch Schnittpunkt SP3:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f1(x): MP (65,6824 / -28,1265)
Radius des Krümmungskreises v. f1(x): r = 63,6643
Krümmung der Funktion f1(x) in Schnittpunkt SP3: kr = -0,0157

 

Eigenschaften des Krümmungskreises der Funktion f2(x) durch Schnittpunkt SP3:

Mittelpunkt des Krümmungskreises v. f2(x): MP (7,3789 / -1,6569)
Radius des Krümmungskreises v. f2(x): r = 2,7909
Krümmung der Funktion f2(x) in Schnittpunkt SP3: kr = -0,3583
 

Anmerkung:

Die o.a. Ergebnisse können ebenso als Lösungen der Gleichung (Nullstellen der Funktion) Y = 4·sin(x/2+2)+cos(x²/20) angesehen werden, denn es wurden Lösungen gesucht, welche die Gleichungsbedingung erfüllen:

 

f1(x) = f2(x)

 

und es gilt:

 

f1(x)-f2(x) = 0
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Schnittpunkt zu finden.
 

 

 

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Startfenster des Unterprogramms Schnittpunkte von Funktionen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform

 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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