MathProf - Funktion - Zylinderkoordinatensystem - Zylinderkoordinaten

 

Modul Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten

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Unter dem Menüpunkt [3D-Mathematik] - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten können Gebilde dargestellt werden, welche durch Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten beschrieben werden.

 

In den zur Verfügung gestellten Modulen wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Sie ermöglichen die Darstellung von Gebilden, welche definiert werden durch
 

• Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten, beschrieben durch einen Term der Form r = f(φ,z,p) bzw. r = f(u,v,p)
   

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 
Ein Raumpunkt P kann neben der Verwendung der rechtwinkligen Koordinaten x, y und z auch durch nachfolgend aufgeführte Angaben beschrieben werden (in Zylinderkoordinaten):
 

• dem Abstand r des Punktes P' vom Koordinatenursprung 0 mit r ≥ 0. OP' stellt hierbei die Projektion der gerichteten Strecke 0P auf die x,y-Ebene dar
• dem Winkel φ, welchen die Strecke 0P mit der positiven x-Achse einschließt und für welchen gilt: -π ≤ φ ≤ π
• dem orientierten Abstand z des Punktes P von der x,y-Ebene, mit -∞ ≤ z ≤ ∞

 
Die Beschreibung eines Punktes im Raum in Form von Zylinderkoordinaten erfolgt in dieesem Unterprogramm auf nachfolgend gezeigte Weise:

r = f(φ, z)

Da eine Verwendung des Symbolzeichens φ per Tastatur nicht möglich ist, muss in diesem Unterprogramm das Zeichen U für den Winkel φ verwendet werden.

Beispiele:

Gilt es die Fläche, welche durch die Funktion r = φ-z beschrieben wird darstellen zu lasssen, so ist im dafür vorgesehenen Feld r = f(φ,z,p) die Zeichenfolge U-V festzulegen.

Gilt es die Fläche, welche durch die Funktion r = cos(φ)-z darstellen zu lasssen, so ist im dafür vorgesehenen Feld r = f(φ,z,p) die Zeichenfolge COS(U)-V festzulegen.
 

 

 

Zusammenhang zwischen kartesischen und zylindrischen Koordinaten bezüglich der in diesem Modul umgesetzten Koordinatentransformation (kartesische Koordinaten in Zylinderkoordinaten umwandeln):

 

 

Zusammenhang zwischen zylindrischen und kartesischen Koordinaten bezüglich der in diesem Modul umgesetzten Koordinatentransformation (Zylinderkoordinaten - Transformation):

 

 

 

 

Um sich derartige Gebilde darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
    
2. Definieren Sie eine Funktion, unter Beachtung der geltenden Syntaxregeln, im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(φ ,z,p) =.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den zu durchlaufenden Bereich für Winkel u und Höhe v fest (Winkel u von u1 = und bis u2 = ; Höhe v von v1 = und bis v2 =). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen (voreingestellt: -π/2 ≤ u ≤ π/2 ; -3 ≤ v ≤ 3).
    
4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest.
    
5. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie, durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ..., den Startwert, sowie den Endwert des vom Parameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Parameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.
   
   Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simul. oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    

Hinweis:

Werden Untersuchungen mit Funktionen durchgeführt, die nicht das Einzelzeichen P enthalten (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen eine Funktion definiert, welche dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

 

 

Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen von Ortskoordinaten, sowie die Ermittlung des Flächeninhalts der Oberfläche eines derart beschriebenen Gebildes, innerhalb eines gewählten Bereichs ermöglicht.

 

 

Wird der Menüpunkt Werte - Funktionswerte gewählt und möchten Sie sich die Koordinatenwerte von Punkten, die dieses Gebilde beschreiben innerhalb frei wählbarer Wertebereiche für Winkel u und Höhe v ausgeben lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(φ ,z) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 = sowie Von v1 = und bis v2 = die Bereiche für Winkel u und Höhe v fest, über welche Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
    
3. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind ,über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Wird der Menüpunkt Werte - Flächeninhalt gewählt und möchten Sie den Inhalt der Oberfläche des durch die Funktion beschriebenen Gebildes näherungsweise ermitteln lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(φ ,z) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 = sowie Von v1 = und bis v2 = die Bereiche für Winkel u und Höhe v fest, für welche der Flächeninhalt des Gebildes ausgegeben werden soll.
    
3. Wählen Sie, durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Segmente, mit welcher Genauigkeit diese Berechnungen durchgeführt werden sollen (je mehr Segmente verwendet werden, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm das Ergebnis.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich zur Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.

 

 

 

Bei Durchführung einer Wertebereichsanalyse können die Werte von Winkel u und Höhe v innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegeben wurden. Einstellbar sind diese durch die Positionierung der Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V.

 

Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Wertebereichsanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

 

 

Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur des dargestellten Gebildes in Abhängigkeit von Winkel u und Höhe v und somit die Analyse entsprechender Koordinatenwerte. Diese Werte können innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms definiert wurden.

 

Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V im Formularbereich Winkel - Höhe zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Kontur des Gebildes steuern können. Die x-, y- und z-Koordinatenwerte des entsprechenden Oberflächenpunktes werden ausgegeben.

 

Um eine Koordinatenanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

 

Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch

• Statisch

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    

2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet das Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.

 

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
 

 

Beispiel 1 - Darstellung:

 

Es gilt, sich die Darstellung einer Fläche ausgeben zu lassen, welche durch eine Funktion r = f(φ,z) = 5·cos(φ)-sin(φ+z) in Zylinderkoordinaten beschrieben wird. Der Wertebereich für φ sei: -π/2 ≤ φ ≤ π/2, der Wertebereich für z sei: -3 ≤ z ≤ 3.

 

Vorgehensweise:

 

Geben Sie in das Feld r = f(φ,z,p) = den Term 5*COS(V)-SIN(U+V) ein. 

 

Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte -1,57079 und 1,57079 in die Felder Winkel von u1 =  und bis u2 = den Wertebereich für Winkel u fest (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen) und definieren Sie hierauf durch die Eingabe der Zahlenwerte -3 und 3 in die Felder Höhe von v1 = und bis v2 = den Wertebereich für Höhe v.

 

Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 

Beispiel 2 - Flächeninhalt:
 

Näherungsberechnung des Flächeninhalts der Oberfläche eines Zylinders, der Höhe h = 2 mit Radius r = 1. Dieser kann durch die Funktion f(u,v) = 1 bei einer Festlegung der Bereiche -π ≤ u ≤ π und -1 ≤ v ≤ 1 beschrieben werden.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Menüpunkts Werte - Flächeninhalt, der Definition der Zahl 1 im Feld f(u,v) =, der Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen) in die Felder von u1 = und bis u2 =, der Eingabe der Zahlenwerte -1 und 1 in die Felder von v1 = und bis v2 = und der Festlegung einer zur Berechnung zu verwendenden Segmentzahl von ca. 50000 durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Segmente, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen das Ergebnis:

Der Inhalt der Mantelfläche des Zylinders beträgt im gewählten Bereich näherungsweise 12,566 FE (M = 2πrh).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10


Grafische Darstellung - Beispiel 11


Grafische Darstellung - Beispiel 12


Grafische Darstellung - Beispiel 13


Grafische Darstellung - Beispiel 14

    
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Zylinderkoordinaten zu finden. 

 

 

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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