MathProf - Funktionen in Polarform - Polardiagramm - Kurve - Plot

 

Modul Funktionen in Polarform

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Das Unterprogramm [Analysis] - Funktionen in Polarform ermöglicht die gleichzeitige grafische Darstellung und Untersuchung von bis zu drei Kurven die in Polarform, beschrieben durch Funktionsterme der Form r = f(w), definiert sind in einem Polardiagramm oder in kartesischer Form.

 

Hierbei stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung:
 

• Darstellung von Funktionen in Polarform (Polardarstellung), beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)

• Darstellung der 1. Ableitung von Funktionen in Polarform (Polardarstellung), beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)

• Ortspunktanalyse von Funktionen in Polarform (Polardarstellung), beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)

• Kurvenverlaufsanalyse von Funktionen in Polarform (Polardarstellung), beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)

 

 

Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate φ. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(φ) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel φ verwendet werden.

 

Bezeichnung in Fachliteratur	Bezeichnung in MathProf
r = f(φ)	r = f(w)

 


Die Lage eines Punktes P im Polarkoordinatensystem ist bestimmt durch seine Entfernung von einem festen Punkt 0 sowie durch den Winkel φ, den eine gegebene durch 0 verlaufende Gerade mit der Geraden 0P im mathematischen Drehsinn bildet.



Die Transformation kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten erfolgt wie nachfolgend gezeigt:

x_p = r·cosφ
y_p = r·sinφ
 

Die erste und zweite Ableitung einer in Polarform mit r = r(φ) dargestellten Funktion lauten:

1. Ableitung:



2. Ableitung:


mit:

 

 

Abbildung 1 - Zwei Funktionen

 

Abbildung 2 - Drei Funktionen
 

Um sich Kurven von Funktionen in Polarform grafisch darstellen zu lassen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Definieren Sie die Funktion im zur Verfügung stehenden Eingabefeld mit der Bezeichnung r1 = f1(w,p) = und aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen oberhalb des Eingabefelds.
   
   Möchten Sie gleichzeitig eine zweite oder dritte Kurve darstellen lassen, so aktivieren Sie hierfür ebenfalls die entsprechenden Kontrollkästchen und definieren die Terme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen r2 = f2(w,p) = bzw. r3 = f3(w,p) =.
    
2. Legen Sie in den Eingabefeldern Winkel w von w1 = und bis w2 = den zur Darstellung der entsprechenden Kurve zu verwendenden Winkelwertebereich fest (voreingestellt: -π ≤ w ≤ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
3. Bestimmen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags unter Auflösung, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
    
4. Soll lediglich eine Darstellung der Kurven erfolgen, so wählen Sie unter Auswahl den Listeneintrag Standard. Möchten Sie hingegen eine Ortspunktanalyse mit Kurven durchführen lassen, so selektieren Sie den Eintrag Punkt. Um eine Kurvenverlaufsanalyse zu ermöglichen, wählen Sie Kurve zeichnen.
    
5. Möchten Sie sich zusätzlich die 1. Ableitung einer Funktion ausgeben lassen, so aktivieren Sie hierfür zuvor das entsprechende Kontrollkästchen (z.B. bei Darstellung der 1. Ableitung der Funktion das Kontrollkästchen 1. Ableitung von Fkt. 1).
    
6. Wurden die Funktionsterme, gemäß den geltenden Syntaxregeln in den entsprechenden Eingabefeldern formuliert, so werden die Kurven nach Betätigen des Schalters Darstellen ausgegeben.
    

7. Wird eine Ortspunktanalyse durchgeführt, so benutzen Sie den Schieberegler Winkelpos. w, um die Ortspunktkoordinaten der dargestellten Kurven in Abhängigkeit von Winkel w ermitteln zu lassen.
    

   Bei einer Kurvenverlaufsanalyse haben Sie die Möglichkeit, den Verlauf einer Kurve in Polarform in Abhängigkeit vom vorgegebenen Wertebereich des Winkels w zu untersuchen. Den Wertebereich, über welchen die Funktion darzustellen ist, bestimmen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Winkelpos. w.
    

   Der Winkel w durchläuft in beiden Fällen den Wertebereich, welcher auf dem Eingabeformular, in den zu oberst angeordneten Feldern festgelegt wurde.
    

8. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 
Hinweis:

Bei der Aktivierung mehrerer Kontrollkästchen auf dem Hauptformular, und somit der gleichzeitigen Darstellung und Analyse mehrerer Kurven, verwendet das Programm für alle dargestellten Kurven für den Winkel w stets dieselben Werte (Winkel w von w1 = und bis w2 =). Es sind dies die, welche in den zu oberst angeordneten Feldern (unter Funktion 1) definiert wurden. Zudem sind die Kontrollkästchen in der Reihenfolge von oben nach unten zu aktivieren. Eingabewerte zur Definition des Bereichs für Winkel w in den Formularbereichen Funktionsterme 2 bzw. Funktionsterme 3 werden ignoriert.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
 
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wurden Funktionsterme erstellt, von welchen mindestens einer das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend gezeigten Bedienformulare zur Verfügung gestellt.

 

 

 

Enthält keiner der erstellten Funktionsterme das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters und wird eine Ortspunktanalyse oder eine Kurvenverlaufsanalyse durchgeführt, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.

 

 

Auf dem Bedienformular zur Durchführung einer Ortspunktanalyse oder einer Kurvenverlaufsanalyse, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkt: Beschriftung von Ortspunkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige von Kurvenpunkten ein-/ausschalten
• Winkelpos.: Anzeige der Werte für Winkel w ein-/ausschalten

 

 

Funktionen können Sie in diesem Unterprogramm auch definieren, bzw. aus der Funktionsbibliothek übernehmen, während sich das Programm im Darstellungsmodus befindet. Wählen Sie den Menüeintrag Datei / Funktionsterm(e) holen, so wird ein Formular geöffnet, auf welchem Sie dies durch einen Doppelklick auf den entsprechenden Eintrag (falls vorhanden) in der Tabelle, oder die Definition einer Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld vornehmen.

 

Eine Anleitung zur Durchführung von Kurvenpunktmarkierungen finden Sie unter Kurvenpunktmarkierung.

 

Um sich Funktionen in Polarform in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.

 

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Optionen - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Optionen - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.

 

Kurvenscharen

Funktionswertetabellen

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Beispiel 1 - Plotten ohne Funktionsparameter:

 

Möchten Sie sich die Funktion r = f(φ) = 10·cos(φ²-sin(4-cos(4-φ))) über einen Bereich -π ≤ φ ≤ π darstellen lassen, so definieren Sie den Funktionsterm 10*COS(W^2-SIN(4-COS(4-W))) im Eingabefeld mit der Bezeichnung r1 = f(w,p) =.

 

Hierauf legen Sie einen Winkelwertebereich -π ≤ w ≤ π durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Winkel w von w1 =  und bis w2 = fest (rechte Maustaste bedienen), wählen unter Auswahl den Eintrag Standard und bedienen danach die Schaltfläche Darstellen.

 

 

Beispiel 2 - Plotten mit Funktionsparameter:

Um den Einfluss des Parameters P bei der Darstellung der Funktion r = f(φ) = 9·cos(-p-4·sin(3·p-3·φ)) mit -π ≤ φ ≤ π zu untersuchen, deaktivieren Sie alle Kontrollkästchen, außer diesem mit der Bezeichnung Funktion 1.

 

Hierauf definieren Sie den Funktionsterm 9*COS(-P-4*SIN(3*P-3*W)) im Textfeld mit der Bezeichnung r1 = f(w,p) =, legen den Winkelwertebereich -π ≤ w ≤ π durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Winkel w von w1 = und bis w2 = fest (rechte Maustaste bedienen), wählen unter Auswahl den Eintrag Standard und bedienen danach die Schaltfläche Darstellen.

 

 

Das Programm hat automatisch erkannt, dass es sich um eine parameterhaltige Funktion handelt und stellt diese zu Anfang mit dem voreingestellten Parameterwert p = -5 dar. Dies bedeutet, dass zunächst die Darstellung der Funktion r1 = f1(w,p) = 9*COS(-(-5)-4*SIN(3*(-5)-3*W)) erfolgt.

 

Durch die Positionsveränderung des Schiebereglers Parameter P wird bei einem voreingestellten Parameterwertebereich von -5 bis 5 und einer Parameterschrittweite von 0,1 die Darstellung folgender Funktionen ausgegeben:

 

r1 = f1(w,p) = 9·cos(-(-5)-4·sin(3*(-5)-3·w))

r1 = f1(w,p) = 9·cos(-(-4,9)-4·((3*(-4,9)-3·w))

r1 = f1(w,p) = 9·cos(-(-4,8)-4·((3*(-4,8)-3·w))

r1 = f1(w,p) = 9·cos(-(-4,7)-4·((3*(-4,7)-3·w))

 

bzw.

 

r1 = f1(φ,p) = 9·cos(-(-5)-4·sin(3*(-5)-3·φ))

r1 = f1(φφ,p) = 9·cos(-(-4,9)-4·((3*(-4,9)-3·φ))

r1 = f1(φ,p) = 9·cos(-(-4,8)-4·((3*(-4,8)-3·φ)

r1 = f1φ,p) = 9·cos(-(-4,7)-4·((3*(-4,7)-3·φ))

 

.

.

.

.

usw.

 

Ändern können Sie diese Einstellungen, indem Sie die Schaltfläche Parameter P bedienen. Eine Parameter-Autosimulation starten Sie durch einen Klick auf die Schaltfläche Simulation.

 

Beispiel 3 - Funktionsgraph mit Ortspunktanalyse:

 

 

Es gilt, die Ortskoordinaten einer Kurve, welche durch den Term r = f(φ) = -φ²+5·sin(-1,6·φ²) über einen Werteberech -π ≤ φ ≤ π auszugeben ist, zu analysieren.

 

Vorgehensweise:

 

Definieren Sie zunächst den Term -W^2+5*SIN(-1,6*W^2) im obersten Eingabefeld mit der Bezeichnung r1 = f1(w,p) =. Legen Sie einen Winkelwertebereich -π ≤ w ≤ π durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Winkel w von w1 = und bis w2 = fest (rechte Maustaste bedienen).

 

Deaktivieren Sie alle Kontrollkästchen, außer diesem mit der Bezeichnung Funktion 1. Wählen Sie unter Auswahl den Eintrag Punkt und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen. Sobald Sie den Schieberegler Winkelpos. w bedienen, werden die zum aktuell eingestellten Winkel W gehörenden Ortspunktkoordinaten der Funktion ausgegeben.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10


Grafische Darstellung - Beispiel 11


Grafische Darstellung - Beispiel 12


Grafische Darstellung - Beispiel 13


Grafische Darstellung - Beispiel 14
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Polarkoordinaten zu finden.

 

 

 

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PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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