MathProf - Flächen - Funktionen - Parameterdarstellung - 3D

 

Modul Flächen mit Funktionen in Parameterform

---

 
Im Unterprogramm [3D-Mathematik] - Flächen im Raum mit Funktionen in Parameterform (Parametergleichung) können Flächen im Raum dargestellt werden, welche durch Funktionen in Parameterform beschrieben werden.

 

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Darstellung von Flächen, welche definiert werden durch
 

Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(u,v,p) ; y = g(u,v,p) ; z = h(u,v,p)

 

 
Das Programm stellt verschiedene Definitionsformen (Arten von Koordinaten) zur Beschreibung derartiger Flächen zur Verfügung. Diese sind nachfolgend aufgeführt.

Kartesische Koordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
Zylinderkoordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
 
 
 
Kugelkoordinaten:
 

 
Zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten gelten folgende Zusammenhänge:
 

 
Beispiel:
 

 
Die gewünschte Definitionsform selektieren Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menüpunkts unter Optionen. Voreingestellt ist die Verwendung kartesischer Koordinaten. Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung dieser Definitionsform eingegangen.
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Darzustellende Flächen können durch Funktionsterme in der folgenden Form beschrieben werden:

 

 

Beispiel:

 

 

 

 

Um sich eine Fläche in Parameterform darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
    

2. Definieren Sie die drei zur Definition einer Fläche benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f(u,v,p) =, g(u,v,p) = sowie h(u,v,p) =.
   
   Beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    

3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den zu durchlaufenden Bereich für die Parameter u und v fest (Parameter von u1 = und bis u2 = ; Parameter von v1 = und bis v2 =). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen (voreingestellt: 0 ≤ u ≤ 2π ; 0 ≤ u ≤ 2π).
    
4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest.
    
5. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie, durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ..., den Startwert, sowie den Endwert des vom Parameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Parameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.
   
   Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simul. oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Hinweis:

Werden Untersuchungen mit Funktionstermen durchgeführt, von welchen keiner das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen mindestens ein Funktionterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

 

 

Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen von Ortskoordinaten, sowie die Ermittlung des Flächeninhalts der Oberfläche einer derart beschriebenen Fläche, innerhalb eines gewählten Bereichs ermöglicht.

 

 

Es besteht die Möglichkeit, sich die x-, y- und z-Koordinatenwerte von Punkten, die diese Fläche beschreiben, innerhalb frei wählbarer Wertebereiche für die Parameter u und v ausgeben zu lassen. Um dies durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Selektieren Sie unter dem Menüpunkt Werte den Eintrag des Funktionsterms für den Sie sich die Koordinatenwerte ausgeben lassen möchten. Es stehen zur Verfügung: Funktionswerte f(u,v), Funktionswerte g(u,v), Funktionswerte h(u,v).
    
2. Definieren Sie den Funktionsterm im zur Verfügung stehenden Eingabefeld und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 =, sowie Von v1 = und bis v2 = die Parameterwertebereiche fest, über welche Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
    
4. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind, über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Möchten Sie den Inhalt der Oberfläche einer derart beschriebenen Fläche, innerhalb eines frei wählbaren Wertebereichs für die Parameter u und v näherungsweise ermitteln lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Wählen Sie unter dem Menüpunkt Werte den Eintrag Flächeninhalt.
    
2. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern f(u,v) =, g(u,v) =, h(u,v) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 = sowie Von v1 = und bis v2 = die Parameterwertebereiche fest, über welche der Flächeninhalt ermittelt werden soll.
    
4. Bestimmen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Segmente, mit welcher Genauigkeit diese Berechnungen durchgeführt werden sollen (je mehr Segmente verwendet werden, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm das Ergebnis.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich zur Definition eines Funktionsterms zur grafischen Darstellung Verwendung findet.

 

Hinweis:

Befindet sich in einem Eingabefeld bereits eine Funktionsdeklaration, so wird diese beim Aufruf des entsprechenden Befehls in das Eingabefeld des erscheinenden Unterformulars übernommen.

 

 

 

Bei Durchführung einer Wertebereichsanalyse können die Werte der Parameter u und v innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegeben wurden. Einstellbar sind diese durch die Positionierung der Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V.

 

Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Wertebereichsanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

 

 

Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur der dargestellten Fläche in Abhängigkeit von den Parametern u und v und somit die Analyse entsprechender Koordinatenwerte. Die Werte der Parameter u und v können innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms definiert wurden.

 

Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V im Formularbereich Parameter zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Kontur der Fläche steuern können. Die x-, y- und z-Koordinatenwerte des entsprechenden Oberflächenpunktes werden ausgegeben.

 

Um eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

 

Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch

• Statisch

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung der Fläche erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    

2. Statisch
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet die Fläche an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.

 

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

 

Beispiel 1:

 

Es gilt, sich eine Fläche darstellen zu lassen, welche durch die Terme

 

x = f(u,v) = 2·v·(sin(u)³·sin(v))

y = g(u,v) = 2·v·(sin(u)·cos(u))

z = h(u,v) = 2·v·(sin(u)³·cos(v))

 

beschrieben wird. Die Parameterwertebereiche seien: 0 ≤ u ≤ 2π und 0 ≤ v ≤ 2π.

 

Vorgehensweise:

 

Geben Sie die Terme 2*V*(SIN(U)^3*SIN(V)), 2*V*(SIN(U)*COS(U)) und 2*V*(SIN(U)^3*COS(V)) in die entsprechenden Felder ein.

 

Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 6,28318 in die Felder Parameter u von u1 = und bis u2 = den Wertebereich für Parameter u fest und definieren Sie hierauf durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 6,28318 in die Felder Parameter v von v1 = und bis v2 = den Wertebereich für Parameter v (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen wird die Fläche grafisch ausgegeben.

 

Beispiel 2:

 

Berechnung des Flächeninhalts der Oberfläche, der durch die Funktionsterme

 

x = f(u,v) = -(1-0,5·v/π)·sin(3·v-2·π)·(1-cos(u))

y = g(u,v) = (1-0,5·v/π)·cos(3·v-2·π)·(1-cos(u))

z = h(u,v) = 6·v/π+(1-0,5·v/π)·sin(u)

 

beschriebenen "Schnecke", innerhalb der Bereiche -π ≤ u ≤ π, -π ≤ v ≤ π.
 

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Wahl des Menüpunkts Werte - Flächeninhalt, der Definition der Funktionsterme

-(1-0,5*V/PI)*SIN(3*V-2*PI)*(1-COS(U))

-(1-0,5*V/PI)*SIN(3*V-2*PI)*(1-COS(U))

6*V/PI+(1-0,5*V/PI)*SIN(U)
 

in den Feldern x = f(u,v) =, y = g(u,v) =, z = h(u,v) =, der Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Von u1 = und bis u2 =, der Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Von v1 = und bis v2 = (nach einem Klick in Eingabefeld rechte Maustaste benutzen) und der Festlegung einer zur Berechnung zu verwendenden Segmentzahl von ca. 100000 durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Segmente, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen das Ergebnis:

Der Inhalt der Oberfläche der "Schnecke" beträgt näherungsweise 143,597 FE.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10


Grafische Darstellung - Beispiel 11


Grafische Darstellung - Beispiel 12
 

Grafische Darstellung - Beispiel 13 (Kleinsche Flasche)

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Regelfläche und unter Wikipedia - Durch Parametrisierung beschriebene Flächen sowie Wikipedia - Möbiusband zu finden. 

 

 

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Flächen mit Funktionen in Parameterform
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Flächen mit Funktionen im Raum in expliziter Form

---

MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---