MathProf - Epizykloide - Rollkurve - Parameterdarstellung - Animation

Modul Epizykloide

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Zykloiden] - Epizykloide können die als Rollkurven bezeichneten Funktionen der Art Epizykloide dargestellt, sowie die Herleitung derer untersucht werden.

 

Eine Epizykloide entsteht als Bahn eines Punktes der mit einem Kreis vom Radius r im Abstand a vom Mittelpunkt fest verbunden ist, wenn der Kreis ohne zu gleiten, auf der Außenseite eines zweiten Kreises abrollt.

Die Parameterdarstellung von gewöhnlichen Epizykloiden lautet:

x(t) = (a+b)·cos(t) - b·cos((a+b)/b·t)+e

y(t) = (a+b)·sin(t) - b·sin((a+b)/b·t)+f

 

Bei einer verkürzten oder verlängerten Epizykloide liegt der erzeugende Punkt innerhalb, oder außerhalb des abrollenden Kreises im Abstand c von dessen Mittelpunkt. Eine derartige Kurve wird als Epitrochoide bezeichnet.

Die Parameterdarstellung einer Epitrochoide lautet:

 

x(t) = (a+b)·cos(t) - c·cos((a+b)/b·t)+e

y(t) = (a+b)·sin(t) - c·sin((a+b)/b·t)+f

Prinzipiell werden folgende Formen von Epizykloiden unterschieden:

Verkürzte Epizykloide: c < a (Epitrochoide)

Verlängerte Epizykloide: c > a (Epitrochoide)

Gemeine Epizykloide: c = a

 

a = R: Radius des äußeren Kreises

b = r: Radius der inneren Kreises

c: Abstand des Punktes P vom Kreismittelpunkt MP (Verschiebung)

e: Horizontaler Abstand des Mittelpunkts des Innenkreises von der Ordinate

f: Vertikaler Abstand des Mittelpunkts des Innenkreises von der Abszisse

t: Wälzwinkel (in Bogenmaß)
 

Darstellung

 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Gewöhnliche oder Epitrochoide, mit welcher Art von Epizykloiden Sie Untersuchungen durchführen möchten.
    
2. Auf dem Bedienformular befinden sich vier Rollbalken. Mit einem dieser können Sie den Radius R des Außenkreises, einem den Radius r des Innenkreises, einem dritten die Position des Wälzwinkels t (innerhalb eines Bereichs -2π ≤ t ≤ 2π) einstellen, und einem weiteren (Verschiebung c) den Abstand c des Punktes vom Kreismittelpunkt des Außenkreises.
    
3. Möchten Sie die Position des Kreismittelpunkts mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punkts T und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste. Um diesen Punkt exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
4. Soll die Position des Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben, oder unten.
    
5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• P beschriften: Beschriftung des Punktes P ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Kreise füllen: Farbfüllung der Kreise ein-/ausschalten
• Kreise darstellen: Darstellung der Kreise ein-/ausschalten

  

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Zykloide

Hypozykloide

 

  

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Gewöhnliche, belassen Sie den Mausfangpunkt T an der Ausgangsposition T(0 / 0) und positionieren Sie die sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken wie folgt:

 

Radius R: 5  (äußerer Kreis)

Radius r: 4  (innerer Kreis)

Wälzwinkel-Pos.: 2,566

Die Position des deaktivierten Rollbalkens Verschiebung c kann sich an beliebiger Stelle befinden.

 

Hierauf stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Funktionsterme

 

x = (5+4)·cos(t) - 4·cos((5-4)/4·t)

y = (5+4)·sin(t) - 4·sin((5-4)/4·t)

 

über einen Parameterwertebereich (Wälzwinkel-Wertebereich) von -2π ≤ t ≤ 2,566 beschrieben wird.

 

Zudem ist der Darstellung u.a. zu entnehmen, dass die durch Abrollen des Kreises entstandene Kurve bei einem Parameterwert t = 2,566 die Ortskoordinaten (Punkt P) x = -11,038 und y = 6,856 besitzt, da gilt:

 

x = (5+4)·cos(2,566) - 4·cos((5-4)/4·2,566)

y = (5+4)·sin(2,566) - 4·sin((5-4)/4·2,566)

 

Der Mittelpunkt des abrollenden Kreises verfügt über die Koordinatenwerte MP (-7,548 / 4,902).

 

Hinweis: Die für Rollbalken Verschiebung c eingestellte Position hat keinen Einfluss auf die Darstellung bzw. die Ergebnisse, wenn gewöhnliche Epizykloiden untersucht werden.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Epizykloide zu finden. 

 

  

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Hypozykloide

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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