MathProf - Differentialgleichungen - DGL - 2. Ordnung - 3. Ordnung

Fachthema: DGL n-ter Ordnung - Interaktiv

MathProf - Algebra - Eine Anwendung für technische Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für Benutzer aller Altersklassen sowie für alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Darstellung der Lösungskurven von Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Es erlaubt die Festlegung von DGL bis 10. Ordnung und somit von bis zu 10 verschiedenen Startwerten. Zudem ermöglicht es die interaktive Veränderung dieser Startwerte mittels der Durchführung entsprechender Mausoperationen. Des Weiteren kann ein veränderbarer Funktionparameter P bei der Definition der DGL verwendet werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.

   

Modul DGL n-ter Ordnung - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Differenzialgleichungen] - DGL n-ter Ordnung - Interaktiv ermöglicht es, die Lösungen von Differenzialgleichungen 2. bis 8. Ordnung interaktiv ermitteln zu lassen.

 

Eine Gleichung in der die n-te Ableitung einer unbekannten Funktion y = y(x) auftritt, wird als Differenzialgleichung n-ter Ordnung bezeichnet. Eine Differenzialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden. Dieses Unterprogramm ermittelt die Lösungskurve y = y(x,p) derartiger Differenzialgleichungen der:
 
2. Ordnung: y^'' = f(x,y,y',p)
3. Ordnung: y⁽³⁾ = f(x,y,y',y'',p)
4. Ordnung: y⁽⁴⁾ = f(x,y,y',y'',y⁽³⁾,p)
5. Ordnung: y⁽⁵⁾ = f(x,y,y',y'',y⁽³⁾,y⁽⁴⁾,p)
6. Ordnung: y⁽⁶⁾ = f(x,y,y',y'',y⁽³⁾,y⁽⁴⁾,y⁽⁵⁾,p)
7. Ordnung: y⁽⁷⁾ = f(x,y,y',y'',y⁽³⁾,y⁽⁴⁾,y⁽⁵⁾,y⁽⁶⁾,p)
8. Ordnung: y⁽⁸⁾ = f(x,y,y',y'',y⁽³⁾,y⁽⁴⁾,y⁽⁵⁾,y⁽⁶⁾,y⁽⁷⁾,p)
 

Führen Sie eine interaktive grafische Analyse zur Ermittlung der Lösungskurve einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung folgendermaßen durch:
 

1. Legen Sie die Ordnung der Differenzialgleichung durch eine Bedienung des Steuerelements Ordnung der DGL fest.
    
2. Definieren Sie die Gleichung, gemäß den geltenden Syntaxregeln, im dafür vorgesehenen Eingabefeld.
    
3. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters mit der Bezeichnung Nur Bereich darstellen bzw. Vollständig darstellen, ob die Lösungskurve bei Ausgabe der grafischen Darstellung über den gesamten Darstellungsbereich ausgegeben werden soll, oder lediglich innerhalb eines festgelegten Intervallbereichs x0 < x < x1.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
5. Das Programm gibt die Lösungskurve für die Startwerte x0 = -5, y(-5) = 0, y'(-5) = 1, y''(-5) = 2, y⁽³⁾(-5) = 3, usw. aus. Die ursprüngliche Lage dieser Punkte zur Festlegung der zu verwendenden Startwerte können Sie durch entsprechende Positionierung der Mausfangpunkte verändern.
   
   Möchten Sie Punkte exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
   
   Die Durchführung horizontaler Bewegungen beeinflusst Startwert x0, eine Durchführung vertikaler Bewegungen verändert die Startwerte y(x0), y'(x0), y''(x0) ....
    
6. Enthält der Gleichnungsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Beachten Sie:

Für die Bezeichnungen der Ableitungen müssen Sie bei der Formulierung des Funktionsterms einer Differenzialgleichung in diesem Unterprogramm folgende Zeichen verwenden:
 
1. Ableitung y': Y1
2. Ableitung y'': Y2
3. Ableitung y⁽³⁾: Y3
4. Ableitung y⁽⁴⁾: Y4
5. Ableitung y⁽⁵⁾: Y5
6. Ableitung y⁽⁶⁾: Y6
7. Ableitung y⁽⁷⁾: Y7
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 
Wurde zur Untersuchung einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung ein Term erstellt, welcher kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

 
Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P (Punkte) beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
• Markierung: Darstellung der Startwertmarkierung ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
DGL 1. Ordnung
DGL 1. Ordnung - Interaktiv
DGL n-ter Ordnung
DGL – Gleichungssystem
DGL – Gleichungssystem - Interaktiv
Richtungsfelder DGL - Interaktiv
DGL 1. Ordnung in Parameterform
DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv
DGL 1. Ordnung im Raum (3D)
 
Es gilt, sich die Lösungskurve der Differenzialgleichung 2. Ordnung y'' = d²y/dx² = sin(x/6)+sin(cos((y')²-5))-y bzw. sin(x/6)+sin(cos((dy/dx)²-5))-y für die Startwerte x0 = -2, y(x₀) = -1 und y'(x₀) = 2 ausgeben zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Stellen mit Hilfe des Steuerelements Ordnung der DGL den Wert 2 ein. Definieren Sie im Eingabefeld y'' = den Term SIN(X/6)+SIN(COS(Y1^2-5))-Y (für die 1. Ableitung y' ist die Zeichenkombination Y1 zu verwenden) und bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Das Programm stellt die Lösungskurve dieser Differenzialgleichung dar, für welche die voreingestellten Startwerte x₀ = -5, y(x₀) = 0 und y'(x₀) = 1 verwendet werden.

Bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben Sie die Koordinaten für die gewünschten Startwerte x₀ = -2, y(-2) = 0 und y'(x-2) = 1 im daraufhin erscheinenden Formular ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Ok stellt das Programm die Kurve dar, für welche die gewünschten Anfangsbedigungen gelten.

Unter der Durchführung von Mausoperationen (Klick in rechteckig umrahmten Mausfangbereich und Bewegung des Mauscursors bei gedrückt gehaltener Maustaste) können Sie die Lage der Punkte P(0) und P(1) (somit die Werte der gestellten Anfangsbedingungen x₀ ,y(x₀), y'(x₀)) verändern und das Verhalten der Kurve untersuchen. Die Durchführung einer horizontalen Bewegung beeinflusst Startwert x₀, eine vertikale Positionierung entsprechender Mausfangpunkte verändert die Startwerte y(x₀), bzw. y'(x₀).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte- Cramersche Regel - Interaktiv - Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter - Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter - Diophantisches Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv - Gleichungen - Interaktiv - Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv - Ungleichungen - DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL - Gleichungssystem - Interaktiv - DGL 1. Ordnung in Parameterform - DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv - DGL-System 1. Ordnung (3D-Visualisierung) - Vektorfelder - Gradientenfelder - Kommandozeilenrechner - Funktionen komplexer Zahlen - Zahlen III
 

 

Startfenster des Unterprogramms DGL n-ter Ordnung - Interaktiv
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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