MathProf - DGL - Gekoppelt - Differenzialgleichung - Parameter

 

Modul DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Differenzialgleichungen] - DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv ermöglicht es, die Lösungskurven gekoppelter Differenzialgleichungen 1. Ordnung, welche in Parameterform gegeben sind, interaktiv ermitteln zu lassen.

 

Hierbei werden die Lösungskurven zweier gekoppelter Differenzialgleichungen, welche durch zwei Gleichungen dx/dt = f(x,y) und dy/dt = g(x,y) mit den Startwerten x(t₀) und y(t₀) gegeben sind, ausgegeben. Es handelt sich um DGL der Form:
 

 
Das Programm bietet die Möglichkeit, bis zu 10 verschiedene Startwerte festzulegen und diese u.a. durch Mausbedienung zu positionieren.
 

Führen Sie eine interaktive grafische Analyse zur Ermittlung der Lösungskurven eines derartigen Systems folgendermaßen durch:
 

1. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen dx/dt = sowie dy/dt =, gemäß den geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie in den Eingabefeldern (Parameter t von t1 = und bis t2 =) den zur Ermittlung des entsprechenden Kurvenverlaufs zu verwendenden Wertebereich für Parameter t fest (voreingestellt: 0 £ t £ 10).
    
3. Bestimmen Sie durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel bzw. Fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Das Programm gibt zunächst die Lösungskurve für die Startwerte x(t₀) = 5 und y(t₀) = 1 aus. Die Lage des Punkts P1 (5 / 1) für die Festlegung des zu verwendenden Startwerts können Sie durch entsprechende Positionierung des Mausfangpunkts verändern.
    
5. Sie können weitere Lösungskurven darstellen lassen und hierfür Startwerte mit Hilfe frei positionierbarer Punkte festlegen:
    
   Erzeugen können Sie diese, indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste anklicken. Löschen können Sie einen Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und die rechte Maustaste bedienen.
   
   Möchten Sie Punkte exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
    
6. Benutzen Sie ggf. den Schieberegler Parameter t, um den zu durchlaufenden Wertebereich für Parameter t zu verändern.
    
7. Enthält einer der Gleichungsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 
Wurden Funktionsterme erstellt, von welchen mindestens einer das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend gezeigten Bedienformulare zur Verfügung gestellt.
 

 
Enthält einer der erstellten Funktionsterme das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.



Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koord.: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
• Punktmark.: Darstellung der Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
DGL 1. Ordnung
DGL 1. Ordnung - Interaktiv
DGL 1. Ordnung in Parameterform
 

 
Es gilt, sich die Lösungskurve eines Systems ausgeben zu lassen, welches durch die gekoppelten Gleichungen dx/dt = f(x,y) = 3·x·sin(y) und dy/dt = g(x,y) = cos(y+x/2)-x in Parameterform beschrieben wird und es ist das Verhalten dieser, in Abhängigkeit von Startwerten, zu untersuchen.
 
Vorgehensweise:
 
Definieren Sie die Terme 3*X*SIN(Y) und COS(Y+X/2)-X in den dafür vorgesehenen Eingabefeldern dx/dt = und dy/dt =. Legen Sie in den Feldern Parameter t von t1 = und bis t2 = , durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte, einen zu durchlaufenden Parameterwertebereich 0 £ t £ 6 fest und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Unter der Durchführung von Mausoperationen (Klick in rechteckig umrahmten Mausfangbereich und Bewegung des Mauscursors bei gedrückt gehaltener Maustaste) können Sie die Lage des vorgegebenen Punktes P1 (die Werte der gestellten Anfangsbedingungen x(t₁) und y(t₁) für diesen Punkt) verändern und somit das Verhalten der Kurve untersuchen.
 
Positionieren Sie den Mauscursor an eine beliebige Stelle und führen Sie einen Klick auf die linke Maustaste durch, so stellt das Programm eine zweite Lösungskurve dar. Für die Startwerte zur Ermittlung dieser Lösungen verwendet das Programm die Koordinatenwerte dieses Punktes. Um exakte Startwerte festzulegen, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte.
 
Um sich weitere Kurven ausgeben zu lassen, gehen Sie wie zuvor beschrieben vor. Durch eine Bedienung des Rollbalkens Parameter t verändern Sie den voreingestellten, zu durchlaufenden Parameterwertebereich 0 £ t £ 6.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Differentialgleichung zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte- Cramersche Regel - Interaktiv - Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter - Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter - Diophantisches Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv - Gleichungen - Interaktiv - Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv - Ungleichungen - DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL n-ter Ordnung - Interaktiv - DGL - Gleichungssystem - Interaktiv - DGL 1. Ordnung in Parameterform - DGL-System 1. Ordnung (3D-Visualisierung) - Vektorfelder - Gradientenfelder - Kommandozeilenrechner - Funktionen komplexer Zahlen - Zahlen III
 

 

Startfenster des Unterprogramms DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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