MathProf - Cramersche Regel - Grafisch - Lösen - Lösung

Modul Cramersche Regel - Interaktiv

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Unter dem Menüpunkt [Algebra] - Cramersche Regel - Interaktiv können die Lösungen linearer Gleichungssysteme zweiten Grades, unter Awendung der Cramerschen Regel, interaktiv analysiert werden.
 
Mit Hilfe der Cramerschen Regel können Gleichungssysteme 2. Grades sowohl rechnerisch, als auch grafisch gelöst werden.

Rechnerische Lösung:

Ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen der Form



gegeben, so kann durch die Berechnung der Determinanten



dessen Lösung errechnet werden mit:



Grafische Lösung:

Bei der Wahl der grafischen Lösung werden beide Gleichungen in deren explizite Darstellungsform umgewandelt und als lineare Funktionen (Geradengleichungen) dargestellt. Es sind folgende Fälle möglich:
 

• Schneiden sich beide Funktionen in einem Punkt, so besitzt dieses Gleichungssystem genau eine Lösung.
• Schneiden sie sich nicht (liegen parallel), so existiert keine Lösung.
• Liegen beide Geraden aufeinander, so existieren unendlich viele Lösungen.

 
Gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor, um Gleichungssysteme dieser Art lösen zu lassen und sich die Zusammenhänge
grafisch zu veranschaulichen:
 

1. Positionieren Sie die Rollbalken a1, a2 und a3, so definieren Sie hierdurch die Koeffizientenwerte der Gleichung 1. Durch eine Bedienung der Rollbalken b1, b2 und b3 legen Sie die Koeffizientenwerte der Gleichung 2 fest.
    
2. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 
Es wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt, um Sachverhalte bzgl. der grafischen Lösbarkeit eines Gleichungssystems dieser Art analysieren zu können.
 

 

 
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Cramersche Regel
Lineares Gleichungssystem
Matrizen
   
Werden die Rollbalken wie folgt positioniert:
 

a1: 3 a2: -4 a3: 2

b1: 1 b2: 3 b3: 4

 
so werden hierdurch die beiden impliziten Gleichungen
 
Gleichung 1: 3·x - 4·y = 2
Gleichung 2: 1·x + 3·y = -4
 
definiert.
 
Das Programm ermittelt für die Gleichungen der beiden dargestellten Geraden:
 
Geradengleichung 1: f1(x) = 0,75·X -0,5
Geradengleichung 2: f2(x) = -0,333·X -1,333
 
Die beiden Geraden schneiden sich. Somit existiert exakt eine Lösung für das Gleichungssystem.
 
Diese lautet (eindeutig): (-0,769 / 1,077)
 
Für die Determinanten wird ausgegeben:
 
Determinante: D(x) = -10
Determinante: D(y) = -14
Koeffizientendeterminante: D: 13
 
Wird Rollbalken b1 jedoch auf Position 2,25 gebracht, so liegen die beiden Geraden parallel und es existiert keine Lösung für dieses Gleichungssystem.
 

 

Beispiel 1


Beispiel 2
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Cramersche Regel zu finden. 

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte - Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter - Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter - Diophantisches Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv - Gleichungen - Interaktiv - Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv - Ungleichungen - DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL n-ter Ordnung - Interaktiv - DGL - Gleichungssystem - Interaktiv - DGL 1. Ordnung in Parameterform - DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv - DGL-System 1. Ordnung (3D-Visualisierung) - Vektorfelder - Gradientenfelder - Kommandozeilenrechner - Funktionen komplexer Zahlen - Zahlen III
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Primzahlen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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