MathProf - Cassinische Kurven - Cassini - Kurve - Formel - Funktion

 

Modul Cassinische Kurven

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Kurven n-ter Ordnung] - Cassinische Kurven können Cassinische Kurven dargestellt und untersucht werden.

 

Eine Cassinische Kurve ist die Menge aller Punkte, deren Entfernungen von zwei festen Punkten konstantes Produkt a² haben. Es handelt sich um Kurven 4. Art, die beschrieben werden können mit:
 
(x² + y²)² - 2e²(x² - y²) = a² - e⁴
mit a > 0 ; e > 0
 
Die Bahnen der meisten Planeten weichen nur wenig von der Kreisform ab. Auch Cassinische Kurven werden immer kreisähnlicher, je größer deren Brennweite ist. Dies veranlasste den Mathematiker Cassini (1625-1712) anzunehmen, dass sich die Planeten auf den nach ihm benannten Kurven bewegen und nicht auf Ellipsen, wie Johannes Kepler (1571-1630) lehrte.

Geklärt wurde das Problem, und zwar zugunsten Keplers, erst durch Isaac Newton (1643-1727). Mit Hilfe des von ihm entdeckten Gravitationsgesetzes konnte mathematisch bewiesen werden, dass sich Planeten, Kometen und andere Himmelkörper im Einflussbereich der Sonne auf Kegelschnittbahnen bewegen.
 
Dieses Unterprogramm ermöglicht die Analyse verschiedener Formen Cassinischer Kurven. Konstruiert werden diese nach folgendem Prinzip:

1. Man zeichnet eine Gerade durch zwei Punkte A und M, sowie deren Mittelpunkt P
    
2. Es wird ein Punkt B auf der Gerade gewählt und die Strecke PB gemessen
    
3. Ein beliebiger freier Punkt C wird gewählt und die Strecke AC gemessen
    
4. Es wird ein Kreis um A durch C gezogen
    
5. Man schlägt um M einen Kreis mit dem Radius PB·PB/AC
    
6. Die Schnittpunkte der beiden Kreise sind S1 und S2
    
7. Die Cassinische Kurve ist nun die Ortskurve von S1 bzw. von S2, wenn der Radius r1 = AC des Kreises um A verändert wird

Hinweise:
 
A und M sind Brennpunkte der Kurve. Ihr Abstand von P ist die Brennweite e (AM = 2e).
 
Durch Veränderung des Abstandes PB entstehen weitere Varianten Cassinischer Kurven:
 

• Wird B auf M gezogen, so liegt ein Sonderfall der Cassinischen Kurve vor, die Lemniskate von Bernoulli
• Wird die Strecke PB gegenüber e vergrößert, so geht die Lemniskate in eine "ellipsenähnliche" Ovale über
• Wird die Strecke PB gegenüber e verkleinert, so zerfällt die Lemniskate in zwei Teile

Diese Sachverhalte können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.
 

 
Gleichung in kartesischer Form:
 
(x² + y²)² - 2e²(x² - y²) = a⁴ - e⁴
mit a > 0 ; e > 0
 
Gleichung in Polarform:
 

 

 
Den Radius r1 des Kreises um Punkt A stellen Sie mit Hilfe des Rollbalkens Radius r1 ein. Möchten Sie die horizontale Lage des Punkts A oder B verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in deren rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts. Um die Lage eines Punktes exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
 
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite und Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Hilfslinien: Darstellung der zur Konstruktion benötigten Hilfslinien (u. Kreise) ein-/ausblenden
• Kreise darstellen: Darstellung der zur Konstruktion benötigten Kreise ein-/ausblenden
• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Kurve fett: Linienstärke der Cassinischen Kurve normal/fett

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Funktionen in Polarform
Darstellung implizit definierter Funktionen
   
Positionieren Sie den Rollbalken Radius r1 auf den Wert 5. Bedienen Sie die Schaltfläche Punkt, geben Sie die Koordinatenwerte (-3 / 0) für Punkt A sowie (4 / 0) für Punkt B ein und bestätigen Sie mit Ok.
 
Das Programm ermittelt für Radius r2 den Wert r2 = 3,2 und für die Parameter a² und e² die Werte a² = r1·r2 = 16 und e² = 9. Somit erfüllt die dargestellte Kurve die Bedingung: (x² + y²)² - 162·(x² - y²) = 175.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Cassinische Kurve zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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