MathProf - Brocard-Punkte - Fußpunkt - Lemoine - Punkt - Umkreis - Rechner

Modul Brocard-Punkte

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Im Unterprogramm [Trigonometrie] - Brocard-Punkte können Untersuchungen zu Brocard-Punkten eines Dreiecks durchgeführt werden.

 

 

Gegeben sei ein allgemeines Dreieck ABC. Es wird ein Kreis gezeichnet, der durch den Punkt A des Dreiecks verläuft und die verlängerte Seite BC des Dreiecks in Punkt B berührt. Ein zweiter Kreis verläuft durch Punkt B des Dreiecks und berührt die verlängerte Seite AC des Dreiecks in Punkt C. Zudem wird ein dritter Kreis gezeichnet, der durch Punkt C des Dreiecks verläuft und dessen verlängerte Seite AB tangiert. Diese drei Kreise schneiden sich in einem Punkt, dem 1. Brocard-Punkt des Dreiecks BP1.
 
Wird das Verfahren umgekehrt angewandt (Kreis durch Punkt B und Tangentialseite AC, Kreis durch Punkt A und Tangentialseite BC, Kreis durch Punkt C und Tangentialseite AB), so schneiden sich die Kreise in einem zweiten Punkt, dem 2. Brocard-Punkt. Der erste und der zweite Brocard-Punkt sind zueinander isogonal konjugiert.
 
Werden die Eckpunkte des Dreiecks ABC mit dem 1. Brocard-Punkt verbunden, so kann festgestellt werden, dass die Winkel BP1-A-B, BP1-B-C und BP1-C-A gleich groß sind. Diese werden als Brocard-Winkel bezeichnet. Entsprechendes gilt bei den Zusammenhängen bzgl. des 2. Brocard-Punktes.
 
Der Kreis, auf welchem die beiden Brocard-Punkte B1 und B2, sowie der Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC liegen, wird als Brocard-Kreis bezeichnet. Der Mittelpunkt B dieses Kreises ist der Flächenschwerpunkt des Dreiecks ABC. Die Dreiecke die durch die Punkte B1, B2 und M gebildet werden, sind stets gleichschenklig. Auf dem Brocard-Kreis liegt der Lemoine-Punkt L. Der Mittelpunkt B des Brocard-Kreises besitzt vom Lemoine-Punkt L den gleichen Abstand wie vom Mittelpunkt des Umkreises M.
 
Diese Sachverhalte können Sie sich in diesem Unterprogramm verdeutlichen.
 
Eine Aktivierung der nachfolgend aufgeführten Kontrollkästchen bewirkt Folgendes:

• 1. Brocard-Punkt: Darstellung des 1. Brocard-Punkts, sowie der entsprechenden Kreise die zur Ermittlung dessen benötigt werden.
• 2. Brocard-Punkt: Darstellung des 2. Brocard-Punkts, sowie der entsprechenden Kreise die zur Ermittlung dessen benötigt werden.
• Umkreis: Darstellung des Umkreises des Dreiecks ABC.
• Bocard-Kreis: Darstellung des Brocard-Kreises.
• Bocard-Linien: Darstellung der Brocard-Linien.
  Geraden die durch einen Eckpunkt des Dreiecks ABC, sowie einen Brocard-Punkt verlaufen heißen Brocard-Linien.
• Fußpunkt-Dreiecke: Darstellung der Fußpunktdreiecke.
  Werden von einem Punkt P aus die Lote auf die Seiten eines Dreiecks ABC gefällt und die Schnittpunkte dieser mit den Dreiecksseiten zu einem Dreieck verbunden, so wird dies als Fußpunktdreieck bezeichnet.
• Lemoine-Punkt: Darstellung des Lemoine-Punkts des Dreiecks.
  Eine Symmediane ist das Spiegelbild einer Seitenhalbierenden an der Winkelhalbierenden die durch denselben Eckpunkt des Dreiecks verläuft. Der Lemoine-Punkt L ist der Schnittpunkt der Symmediane eines Dreiecks.

Hinweis zum Begriff 'isogonal':
Verbindet man in einem Dreieck einen Punkt P, der nicht auf den Verlängerungen der Dreiecksseiten liegt, mit den Ecken und spiegelt diese Verbindungsgeraden an den entsprechenden Winkelhalbierenden, so verlaufen die Spiegelbilder wieder durch einen gemeinsamen Punkt P'. Diesen Punkt bezeichnet man als den zu P isogonal konjugierten Punkt, oder als das isogonale Konjugat von P. Ist P' isogonal konjugiert zu P, so ist auch P isogonales Konjugat von P'.
   
Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

1. Zur exakten Positionierung der Eckpunkte des Dreiecks klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
2. Möchten Sie die Positionen von Anfasspunkten des Dreiecks mit der Maus verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und Sie bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:
Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.
  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Punkte: Darstellung ermittelter Punkte ein-/ausschalten
• Füllen: Farbfüllung des Dreiecks ABC ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln
Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte
Allgemeines Dreieck – Interaktiv
   
Lassen Sie sich ein Dreieck darstellen, welches durch die Eckpunkte A (-6 / 8), B (-8 / -4) und C (5 / -6) beschrieben wird, so gibt das Programm (nach Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen) folgende Werte aus:
 
Brocard-Winkel:
 
BP1-A-B: 26,637°
BP1-B-C: 26,637°
BP1-C-A: 26,637°
 
Alle drei Winkel sind gleich groß.
 
1. Brocard-Punkt:
 
Punkt: BP1 (-2,809 / -2,324)
 
2. Brocard-Punkt:
 
Punkt: BP2 (-4,525 / 0,765)
 
Umkreis des Dreiecks ABC:
 
Mittelpunkt: M (-0,587 / 0,931)
Radius: ru = 8,903
 
Brocard-Kreis:
 
Mittelpunkt: B (-2,515 / -0,139)
Radius: ru = 2,205
 
Der Brocard-Kreis ist der Kreis auf dem die Brocard-Punkte B1 und B2, sowie der Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC liegen.
 
Lemoine-Punkt:
 
Punkt: L (-4,442 / -1,21)
 
Auch der Lemoine-Punkt liegt auf dem Brocard-Kreis.
 
Innenwinkel des Dreiecks ABC:
 
Winkel BAC: 47,62°
Winkel ABC: 89,284°
Winkel ACB: 43,097°
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Brocard-Punkte- zu finden.
 

 

Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangens und Cotangens am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt - Nachweis des Satz des Pythagoras - Nachweis des Kathetensatzes - Trilineare Koordinaten - Gergonne-Punkt - Exeter-Punkt - Epstein-Punkte - Feuerbachkreis - Mittenpunkt des Dreiecks - Lemoine-Punkt - Nagel-Punkt - Napoleon- und Fermat-Punkt - Fuhrmann-Dreieck - Morley-Dreieck - Yff-Dreieck - Verwandtes Dreieck - Quadrate und Kreise im rechtwinkligen Dreieck
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kathetensatz

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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