MathProf - Brennpunkte - Brennstrahlen - Kegelschnitt - Leitlinie

Modul Brennpunkte - Brennstrahlen

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Das kleine Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Brennpunkte - Brennstrahlen ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Ellipsen und Hyperbeln bzgl. derer Brennpunkte.

 

 

Ist die lineare Exzentrizität eines Kegelschnitts kleiner als seine Halbachse a, so beschreibt dieser eine Ellipse; ist sie größer, so entsteht eine Hyperbel. Dies können Sie untersuchen, wenn Sie den Kontrollschalter Variante 1 aktivieren.
 
Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant und gleich der großen Achse der Ellipse ist. Es gilt: F1P + PF2 = const. = 2a.
 
Eine Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant oder gleich der reellen Achse der Hyperbel ist. Es gilt F1P - PF2 = const. < F1F2.
 
Diese Sachverhalte können Sie sich in diesem Unterprogramm verdeutlichen, indem Sie den Kontrollschalter Variante 2 aktivieren.
 
Details, sowie mathematische Gleichungen zu Kegelschnitten, finden Sie unter Kegelschnitte.
 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen in diesem Unterprogramm durchzuführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Variante 1 bzw. Variante 2 auf dem Bedienformular, ob Sie Untersuchungen bzgl. der Exzentrizität von Kegelschnitten, oder bzgl. derer Definition durchführen möchten.
   Wurde Variante 2 gewählt, so stellen Sie mit Hilfe des Schiebereglers Winkel eine entsprechende Winkelposition ein, für welche die Ergebnisse ausgegeben werden sollen.
    
2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punktes exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Lage eines Fangpunktes mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Brennpunkte: Darstellung der Brennpunkte ein-/ausschalten
• Leitlinien: Darstellung der Leitlinien der Kurven ein-/ausschalten (nur bei Variante 2)

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Kegelschnitte in Mittelpunktlage–Interaktiv
Kegelschnitte in Mittelpunktlage
 
Beispiel - Variante 1:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Variante 1.

Nach einer Positionierung der Mausfangpunkte auf P1 (0 / 7) und P2 (-5 / 0) nach der Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkte wird eine Ellipse dargestellt, die folgende Eigenschaften besitzt:

Halbachse: a = 5
Halbachse: b = 7
Parameter: p = 9,8
Lineare Exzentrizität: e = 4,889  
(lineare Exzentrizität ist kleiner als Halbachse a -> Ellipse)
Numerische Exzentrizität: ε = 0,98
 
Fläche: A = 109,956 FE
Umfang: U = 37,959
 
Brennpunkte der Ellipse:
F1 (-4,899 / 0)
F2 (4,899 / 0)

Werden die Mausfangpunkte nach der Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkte auf P1 (0 / 7) und P2 (-3 / 0) positioniert, so stellt das Programm eine Hyperbel mit folgenden Eigenschaften dar:

Halbachse: a = 3
Halbachse: b = 7
Parameter: p = 16,333
Lineare Exzentrizität: e = 7,616 
(lineare Exzentrizität ist größer als Halbachse a -> Hyperbel)
Numerische Exzentrizität: ε = 2,108
 
Brennpunkte der Hyperbel:
F1 (-7,616 / 0)
F2 (7,616 / 0)

Beispiel - Variante 2:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Variante 2.

Nach einer Positionierung der Mausfangpunkte auf P1 (0 / 5) und P2 (-6 / 0) durch die Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkte ist während einer Veränderung der Rollbalkenposition des Schiebereglers Winkel festzustellen, dass bei einer Ellipse stets gilt: BF1 + BF2 = const. = 2a = OP2.
 
Werden die Mausfangpunkte durch die Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkte auf P1 (0 / 5) und P2 (-3 / 0) positioniert, so wird eine Hyperbel dargestellt. Während einer Veränderung der Rollbalkenposition des Schiebereglers Winkel ist festzustellen, dass bei einer Hyperbel stets gilt: BF2 - BF1 = const.
 
Werden die Mausfangpunkte nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkte wieder auf P1 (0 / 5) und P2 (-6 / 0) eingestellt, so gibt das Programm für die Eigenschaften der dargestellten Ellipse aus:
 
Halbachse: a = 6
Halbachse: b = 5
Parameter: p = 4,157
Lineare Exzentrizität: e = 3,317  
(lineare Exzentrizität kleiner als Halbachse a -> Ellipse)
Numerische Exzentrizität: ε = 0,553
 
Fläche: A = 94,248 FE
Umfang: U = 34,629
 
Brennpunkte:
F1 (-3,317 / 0)
F2 (3,317 / 0)
 
Leitlinien:
x1 = -10,854
x2 = 10,854
 
Werden die Mausfangpunkte nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Punkte wieder auf P1 (0 / 5) und P2 (-3 / 0) eingestellt, so gibt das Programm für die Eigenschaften der nun dargestellten Hyperbel aus:
 
Halbachse: a = 3
Halbachse: b = 5
Parameter: p = 8,333
Lineare Exzentrizität: e = 5,831  
(lineare Exzentrizität größer als Halbachse a -> Hyperbel)
Numerische Exzentrizität: ε = 1,333
 
Brennpunkte:
F1 (-5,831 / 0)
F2 (5,831 / 0)
 
Leitlinien:
x1 = -1,543
x2 = 1,543
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Sehnenviereck - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Malfatti-Kreise - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper  - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Koordinatensysteme - Kugeldreieck (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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