MathProf - Binomische Formeln - Zahlen - Binom - Rechner - Quadrat
Fachthema: Binomische Formeln
MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Interpretation von Sachverhalten bzgl. binomischer Formeln zweiten Grades.
Dieses Unterprogramm ermöglicht die Durchführung der interaktiven Analyse der grafischen Herleitung des binomischen Lehrsatzes.
Das Berechnen der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Binom - Binomische Formel - Binomischer Lehrsatz - Binomische Formeln - Binomisch - Erste binomische Formel - Zweite binomische Formel - Dritte binomische Formel - Grafisch - 1. binomische Formel - 2. binomische Formel - Hoch 2 - Hoch 3 - Hoch 4 - Hoch 5 - Quadrat - Fläche - Flächeninhalt - Bildlich - a - b - Bilder - Darstellung - Übersicht - Binome - Faktorisieren - Ausklammern - Formeln - Multiplizieren - Umformen - Berechnen - Plotten - Plotter - Berechnung - Rechnen - Darstellen - Zeichnen - Graph - Grafisch - Übersicht - Rechengesetze - Auflösen - Anwenden - Erklärung - Beschreibung - Bedeutung - Was bedeutet - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Definition - Multiplizieren - Umwandeln - Begriff - Begriffe - Zahlen - Zerlegen - Vereinfachen - Terme - Klammer - Klammer auflösen - Geometrisch - Herleitung - Ergebnis - Beweis - Einführung - Lösen - Lösungen - Was ist - Was sind - Warum - Weshalb - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Erklärung - Einfach erklärt - Mathematik - Mathe - Grundlagen - Kubisch - Positiv - Negativ - Produkt - Umgekehrt - Variablen - Auflösen - Exponent - Grad 2 - Grad 3 - Grad 4 - Summanden - Zahlen - Potenzen von Binomen - Merksatz - Merksätze - Faktorisieren - Rechner - Zeichnung - Veranschaulichen - Veranschaulichung - Rückwärts - Vorwärts - Beispiel - Zeichnerisch |
Binomische Formel
Modul Binomische Formel
Das kleine Unterprogramm [Algebra] - [Sonstiges] - Binomische Formel ermöglicht eine grafische Interpretation der Zusammenhänge bei der binomischen Formel 1. Grades.
Binomische Formeln sind Formeln, die der Umformung von Produkten aus Binomen dienen. Der Ausdruck binomisch entstammt dem Lateinischen von 'bi und 'nomen', was so viel wie 'zwei Namen' heißt. Es bedeutet, dass zwei Summanden (bzw. eine Differenz) in einer Klammer enthalten sind.
Geometrische (grafische) Deutung einer binomischen Formel:
Das Produkt zweier Zahlen lässt sich stets als Fläche zweier Seiten eines Quadrats, oder Rechtecks mit den Längen a und b darstellen. Somit ergibt sich für (a+b)² die Fläche eines Quadrates mit den Seitenlängen (a+b). Dieses Quadrat lässt sich in vier Teilflächen zerlegen. Es sind dies die Quadrate a² und b², sowie die beiden Rechteckflächen a·b. Somit lässt sich der algebraische Ausdruck (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2 herleiten.
Binome - Übersicht
Binome setzen sich aus Faktoren mit zwei Variablen zusammen, welche additiv auftreten. Es handelt sich um Polynome, die über zwei Glieder verfügen. Sie sind in nachfolgender Tabelle aufgeführt.
Produktform | Quadratform | Summenform | Bezeichnung |
(a + b)·(a + b) | (a + b)² | a2 + 2·a·b + b2 | 1. Binom |
(a - b)·(a - b) | (a - b)² | a2 - 2·a·b + b2 | 2. Binom |
(a + b)·(a - b) | --- | a2 - b2 | 3. Binom |
Durch Anwendung dieser Formeln kann das Quadrat einer algebraischen Summe angegeben werden. Zudem ist es möglich einen algebraischen Summenterm in Faktoren zu zerlegen.
Binomischer Lehrsatz
Der verallgemeinerte binomische Lehrsatz lautet:
Der binomische Lehrsatz gibt an, wie ein Ausdruck der Form als Polynom n-ten Grades auszumultiplizieren ist.
Nachfolgend sind die drei binomischen Formeln aufgeführt.
1. binomische Formel: Die erste binomische Formel besitzt den Ausdruck (a + b)2 und besitzt die Lösung a2 + 2·a·b + b2.
Die Merkregel zum Ausmultiplizieren binomischer Formeln dieser Art lautet:
- Das erste Glied quadrieren
- Das Doppelte des ersten und des zweites Gliedes bilden
- Das zweite Glied quadrieren
Hinweis: In diesem Unterprogramm werden die entsprechenden Sachverhalte lediglich anhand der 1. binomischen Formel behandelt.
2. binomische Formel: Die zweite binomische Formel lautet (a - b)2. Sie besitzt die Lösung a2 - 2·a·b + b2.
3. binomische Formel: Die dritte binomische Formel besitzt den Ausdruck (a + b)·(a - b) und besitzt die Lösung a2 - b2.
Herleitungen und Lösungswege (Auflösen der Klammern - Zerlegen) der binomischen Formeln:
1. binomische Formel: ( a + b )² = ( a + b ) · ( a + b ) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
2. binomische Formel: ( a - b )² = ( a - b ) · ( a - b ) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b²
3. binomische Formel: ( a + b ) · ( a - b ) = a² - ab + ba - b² = a² - b²
Binomische Formeln für höhere Potenzen:
( a + b )3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
( a - b )4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
( a - b )5 = a5 - 5a4b + 10a3b2 -10a2b3 + 5ab4 - b5
Beispiele:
Beispiel 1 der Anwendung der ersten binomischen Formel (vorwärts):
Gegeben sei der Term (3x + 2y)²:
Dieser ist unter Anwendung der hierfür geltenden Rechengesetze aufzulösen.
Für den Koeffizienten a der binomischen Formel wird der Ausdruck 3x und für den Koeffizienten b der Ausdruck 2y eingesetzt. Hieraus ergibt sich gemäß dem Lehrsatz (a + b)² = a² + 2ab + b² mit a = 3x und b = 2y:
a² + 2ab + b²
(3x)² + 2·3x·2y + (2y)²
= 9x² + 12xy + 4y²
→ Somit gilt: (3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²
Beispiel 2 der Anwendung der ersten binomischen Formel (rückwärts):
Gegeben sei der Term 25x² + 30xy + 9y²:
Dieser ist in Form einer binomischen Formel darzustellen.
Aus dem linken Term 25x² und dem rechten Term 9y² wird die Wurzel gezogen.
25x² + 30xy + 9y²
25x² = a² → a = 5x
9y² = b² → b = 3y
Der mittlere Term 30xy wird auf seine Korrektheit geprüft:
30xy = 2ab → 2·5·3·x·y = 30xy
→ Somit gilt: (5x + 3y)² = 25x² + 30xy + 9y² bzw. (a + b)² = a² + 2ab + b²
Darstellung
In diesem Unterprogramm kann die Überprüfung dieses Sachverhalts des binomischen Lehrsatzes anhand der ersten binomischen Formel mit Hilfe einer grafischen Darstellung durchgeführt werden.
Durch die Bedienung des Schiebereglers Parameter a werden die Seitenverhältnisse der entsprechend positionierten Rechtecke und Quadrate geändert. Die hierauf unmittelbar aktualisierten Berechnungsergebnisse werden ausgegeben.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Beispiel
Stellen Sie die Rollbalkenposition für Parameter a auf den Wert 4 ein, so erhalten Sie für das graue Quadrat die Fläche a² = 4² = 16, für das grüne Quadrat die Fläche b² = 12² = 144 und für das rote, sowie das blaue Rechteck jeweils die Fläche a·b = 48.
Aufsummiert ergibt derer gesamter Flächeninhalt 16 + 2·48 + 144 = 16 + 96 + 144 = 256. Dieser entspricht dem Wert, der über den algebraischen Ausdruck (a+b)² = (4+12)² = 256 ermittelt wird.
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Binomischer Lehrsatz
Wikipedia - Binomische Formeln
Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
MathProf 5.0 - Unterprogramm Brüche - Dezimalzahlen - Kettenbrüche
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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