MathProf - Rechner - Komplexe Zahl - Reelle Zahlen - Imaginäre Zahlen

Modul Berechnungen mit komplexen Zahlen

---

Im Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Berechnungen mit komplexen Zahlen können verschiedene Berechnungen mit komplexen Zahlen durchgeführt werden.

 

 
 
Komplexe Zahlen stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs der reellen Zahlen dar. Diese wird eingesetzt, um Gleichungen der Form x² + 1 = 0 bzw. x² = -1 lösbar zu machen. Es existiert keine reelle Zahl, die als Lösung dieser Gleichung dienen könnte.

Komplexe Zahlen lassen sich unter anderem in der Form z = a + bi darstellen, wobei der Teil a dieser Zahl die Bezeichnung Realteil trägt und dessen Teil bi der Imaginärteil dieser Zahl genannt wird. Diese Darstellungsform besitzt die Bezeichnung kartesische Form (Normalform oder arithmetische Form).

 
Die Benutzung dieses Programmmoduls ermöglicht die:
  

• Umwandlung (Umrechnung) einer komplexen Zahl Z in andere Darstellungsformen
   

• Ermittlung einer zu Z konjugiert komplexen Zahl Z*
   

• Ermittlung
  
  - des Betrags einer komplexen Zahl Z
  - der 2. und 3. Potenz einer komplexen Zahl Z
  - der Reziproken einer komplexen Zahl Z
  - der Lösungen der 2. und 3. Wurzeln einer komplexen Zahl Z
  - des nat. Logarithmus einer komplexen Zahl Z
   

• Bildung von
  
  - Summe
  - Differenz
  - Produkt
  - Quotient
  
  zweier komplexen Zahlen Z1 und Z2
   

• Ermittlung der Hauptwerte folgender trigonometrischer Funktionen einer komplexen Zahl Z:
  
  - Sinus von Z
  - Cosinus von Z
  - Tangens von Z
  - Sinus hyperbolicus von Z
  - Cosinus hyperbolicus von Z
  - Tangens hyperbolicus von Z

  

 

Komplexe Zahlen können in einer der nachfolgend gezeigten Schreibweisen definiert werden:
 

1. Kartesische Form (Normalform bzw. arithmetische Form):

 
Die Schreibweise einer komplexen Zahl in kartesischer Form ist nachfolgend gezeigt:

z = x + jy
 

x: Realteil von z

y: Imaginärteil von z

j: Imaginäre Einheit (j² = -1)

2. Polarform (trigonometrische Form):

 
Die Schreibweise einer komplexen Zahl in Polarform (Polardarstellung) ist nachfolgend gezeigt:

z = r·(cos(φ) + j·sin(φ))

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z

3. Exponentialform (Eulersche Form):

Die Schreibweise einer komplexen Zahl in Exponentialform lautet:

z = r·e^jφ

Diese Schreibweise wird auch als exponentielle Darstellung, Exponentialdarstellung oder Exponentialschreibweise bezeichnet.

r: Betrag von z

φ: Argument (Winkel) von z

e: Eulersche Zahl

---

Als Argument einer positiven Zahl wird ein Winkel in einer Gaußschen Zahlenebene bezeichnet. Es beschreibt die Richtungsposition einer komplexen Zahl, ausgehend vom Nullpunkt des Koordinatensystems.


Eulersche Formel (Eulersche Funktion):

Bei der eulerschen Formel handelt es sich um eine Gleichung, die mittels komplexer Zahlen eine Verbindung zwischen Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen herstellt. Es gilt:

e^jφ = cos(φ) + j·sin(φ)
e-^jφ = cos(φ) - j·sin(φ)

Aufgelöst nach trigonometrischen Termen:
 
sin(φ) = (e^jφ - e^-jφ)/2j
cos(φ) = (e^jφ + e^-jφ)/2
tan(φ) = -j·(e^jφ - e^-jφ)/(e^jφ + e^-jφ)
cot(φ) = j·(e^jφ + e^-jφ)/(e^jφ - e^-jφ)

Zudem besitzt der nachfolgend aufgeführte Satz von Moivre Gültigkeit.
 
Satz von Moivre:

(cos(φ) + j·sin(φ))ⁿ = cos(n·φ) + j·sin(n·φ)
 
 

 

Mathematische Zusammenhänge zu diesem Fachthema werden nachfolgend aufgezeigt:

 

I - Grundlegendes (Rechenregeln komplexer Zahlen):

 
Bezüglich der Potenzierung des Imaginärteils komplexer Zahlen gelten nachfolgend gezeigte Regeln:
 

j² = -1

j³ = j · j² = -j

j⁴ = j² · j² = (-1) · (-1) = +1

1 / j = -j  (Kehrwert einer komplexen Zahl)

 

Betrag einer komplexen Zahl:

Für den Betrag|z|einer komplexen Zahl gilt:
 

r = |z| = √ (x² + y²)

Dieser Betrag entspricht der Länge des durch einen Bildpunkt P(x;y) gerichteten Zeigers. Für den Winkel φ (das Argument) dieser Zahl gilt:

tan φ = y / x

 

II - Gleichheit komplexer Zahlen:

 
Für die Gleichheit zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ gilt:
 

z₁ = z₂ genau dann, wenn x₁ = x₂ und y₁ = y_2.
 

 

III - Grundrechenarten komplexer Zahlen - Addition:

Bei der Durchführung des Addierens zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ werden die Realteile sowie die Imaginärteile beider Zahlen summiert. Das Resultat ist ebenfalls eine komplexe Zahl. Das Assoziativgesetz sowie Kommutativgesetz besitzen hierbei Gültigkeit.
 

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + j (y₁ + y₂)
 

 

IV - Grundrechenarten komplexer Zahlen - Subtraktion:

Bei der Durchführung der Subtraktion zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ werden der Realteil sowie der Imaginärteil der abzuziehenden Zahl vom Minuend abgezogen. Das Resultat ist ebenfalls eine komplexe Zahl. Es gilt:
 

z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + j (y₁ - y₂)
 

 

V - Grundrechenarten komplexer Zahlen - Multiplikation:

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ die in kartesischer Form vorliegen, erfolgt nach der im Folgenden gezeigten Methode.
 

z₁ · z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + j (x₁y₂ + x₂y₁)

Das Multiplizieren zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ die in Polarform definiert sind, wird wie nachfolgend gezeigt, durchgeführt.
 

z₁ · z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + j sin(φ₁ + φ₂)]

          = r₁r₂·e ^j(φ1+φ2)

 

VI - Grundrechenarten komplexer Zahlen - Division - Bruch:

Die Division zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ die in kartesischer Form vorliegen, erfolgt nach der im Folgenden gezeigten
Methode.

 

z₁ / z₂ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (x₂² + y₂²) + j (x₂y₁ - x₁y₂) / (x₂² + y₂²)

Das Dividieren zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ die in Polarform definiert sind, wird wie nachfolgend gezeigt, durchgeführt.
 

z₁ / z₂ = r₁ / r₂[cos(φ₁ - φ₂) + j sin(φ₁ - φ₂)]

          = r_1/ r₂·e ^j(φ1-φ2)

 

VII - Konjugiert komplexe Zahl:

 

z* = x - jy ist die z = x + jy konjugiert komplexe Zahl.

Als konjugiert komplexe Zahl z* zu z wird diejenige komplexe Zahl bezeichnet, deren Realteil und deren Imaginärteil dem der Zahl z entspricht, derer Imaginärteil jedoch ein umgekehrtes Vorzeichen besitzt. Diese Zahl z* liegt spiegelsymmetrisch zur reellen Achse und unterscheidet sich lediglich in ihrem Imaginärteil durch ihr Vorzeichen von z.

 

Für zwei zueinander konjugierte komplexe Zahlen z₁ und z₂ gilt:

 

z₁ = z₂*

z₂ = z₁*

 
 

VIII - Wurzeln komplexer Zahlen (Radizieren komplexer Zahlen):

 

Die Gleichung  zⁿ = a = a₀·e ^jα (mit a₀ > 0)

besitzt genau n verschiedene Lösungen (Wurzeln). Es sind dies:

 

z_k = ⁿ√r[cos(φ/n + 2π·k/n) + j sin(φ/n + 2π·k/n)  mit k = 0...n-1

 

Bei einer Quadratwurzel ist n = 2 und es existieren exakt zwei Lösungen. Die zugehörigen Bildpunkte liegen auf dem Mittelpunktskreis mit dem Radius R =  ⁿ√a₀.

 

IX - Potenz einer komplexen Zahl (Exponent):

 

Eine komplexe Zahl wird potenziert, indem ihr Betrag potenziert und ihr Argument vervielfacht wird. Es gilt:

zⁿ = [r·e ^jφ] = rⁿ·e ^jnφ

 

zⁿ = [r[cos(φ_k) + j sin(φ_k)]]ⁿ =  rⁿ[cos(nφ_k) + j sin(nφ_k)]

 

Vor dem Potenzieren ist eine komplexe Zahl in Polarform zu bringen.
 

 

X - Natürlicher Logarithmus komplexer Zahlen:

 

ln z = ln r + j (φ + k·2π )

 

mit: z ≠ 0 , k ∈ Z , (0  ≤ φ < 2π)

 

Der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl ist unendlich vieldeutig.

Der Hauptwert wird für k = 0 angenommen.

 

XI - Trigonometrische Funktionen komplexer Zahlen:

 

sin(x + jy) = sin (x) · cosh (y) + j cos (x) · sinh (y)

cos(x + jy) = cos (x) · cosh (y) - j sin (x) · sinh (y)

tan(x + jy) = sin (2x) / (cos (2x) + cosh 2y ) + j sinh (2y) / (cos (2x) + cosh (2y) )

sinh(x + jy) = sinh (x) · cos (y) + j cosh (x) sin (y)

cosh(x + jy) = cosh (x) · cos (y) + j sinh (x) sin (y)

tanh(x + jy) = sinh (2x) / (cosh (2x) + cos (2y)) + j sin (2y) / (cosh (2x) + cos (2y) )

Mit:
z: Komplexe Zahl
x: Realteil von z
y: Imaginärteil von z
j: Imaginäre Einheit (j² = -1)
r: Betrag von z
φ: Argument (Winkel) von z
e: Eulersche Zahl
 
 

 

Berechnungen in diesem Unterprogramm werden grundsätzlich mit zwei komplexen Zahlen z₁ und z₂ durchgeführt. Deren Definition kann erfolgen in:
 

• Kartesischer Form (Normalform)

• Exponentialform

• Polarform

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Kartesische Form, Polarform oder Exponentialform für die komplexen Zahlen z₁ und z₂ und der Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder, gibt das Programm die Ergebnisse nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen in der Tabelle aus. Diese werden in den drei oben aufgeführten Darstellungsformen angezeigt.

 

Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Winkelangaben für φ in Bogenmaß bzw. Winkelangaben für φ in Gradmaß können Sie festlegen, ob die Berechnungen für komplexe Zahlen in Exponentialform im Grad- oder im Bogenmaß durchgeführt werden sollen.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Einheitskreis komplexer Zahlen

Taschenrechner für komplexe Zahlen

Schreibweisen komplexer Zahlen

Addition komplexer Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

 

 

Lassen Sie Berechnungen mit den beiden in kartesischer Form gegebenen Zahlen z1 = 2 - 2 j und z2 = 4 + 5 j durchführen, so ermittelt das Programm nach einer Aktivierung der beiden Kontrollschalter für Kartesische Form, sowie des Kontrollschalters Winkelangaben für φ  in Bogenmaß, der Eingabe der relevanten Zahlenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Für die komplexe Zahl z1:

Komplexe Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 = 2 - 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 = 2,82843 · ( cos(5,49779) + j · sin(5,49779) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 = 2,82843 · e^5,49779j

Konjugierte zur komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1* = 2 + 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1* = 2,82843 · ( cos(0,7854) + j · sin(0,7854) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1* = 2,82843 · e^0,7854j

Betrag der komplexen Zahl z1: | z1 | = 2,82843

2. Potenz der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 ² = 0 - 8 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 ² = 8 · ( cos(4,71239) + j · sin(4,71239) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 ² = 8 · e^4,71239j

3. Potenz der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: z1 ³ = -16 - 16 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 ³ = 22,62742 · ( cos(3,92699) + j · sin(3,92699) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 ³ = 22,62742 · e^3,92699j

Reziproke der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: 1/z1 = 0,25 + 0,25 j
Nach Wandlung in Polarform: 1/z1 = 0,35355 · ( cos(0,7854) + j · sin(0,7854) )
Nach Wandlung in Exponentialform: 1/z1 = 0,35355 · e^0,7854j

2. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 1:
In kartesischer Form: z = 1,55377 - 0,64359 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,68179 · ( cos(5,89049) + j · sin(5,89049) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,68179 · e^5,89049j

2. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 2:
In kartesischer Form: z = -1,55377 + 0,64359 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,68179 · ( cos(2,74889) + j · sin(2,74889) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,68179 · e^2,74889j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 1:
In kartesischer Form: z = -1 - 1 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(3,92699) + j · sin(3,92699) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e^3,92699j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 2:
In kartesischer Form: z = 1,36603 - 0,36603 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(6,02139) + j · sin(6,02139) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e^6,02139j

3. Wurzel der komplexen Zahl z1 - Lösung 3:
In kartesischer Form: z = -0,36603 + 1,36603 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,41421 · ( cos(1,8326) + j · sin(1,8326) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,41421 · e^1,8326j

Natürlicher Logarithmus der komplexen Zahl z1:
In kartesischer Form: ln(z1) = 1,03972 + 5,49779 j
Nach Wandlung in Polarform: ln(z1) = 5,59524 · ( cos(1,38389) + j · sin(1,38389) )
Nach Wandlung in Exponentialform: ln(z1) = 5,59524 · e^1,38389j
 

Für die komplexe Zahl z2:

Komplexe Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 = 4 + 5 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 = 6,40312 · ( cos(0,89606) + j · sin(0,89606) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 = 6,40312 · e^0,89606j

Konjugierte zur komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2* = 4 - 5 j
Nach Wandlung in Polarform: z2* = 6,40312 · ( cos(5,38713) + j · sin(5,38713) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2* = 6,40312 · e^5,38713j

Betrag der komplexen Zahl z2: | z2 | = 6,40312

2. Potenz der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 ² = -9 + 40 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 ² = 41 · ( cos(1,79211) + j · sin(1,79211) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 ² = 41 · e^1,79211j

3. Potenz der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z2 ³ = -236 + 115 j
Nach Wandlung in Polarform: z2 ³ = 262,52809 · ( cos(2,68817) + j · sin(2,68817) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z2 ³ = 262,52809 · e^2,68817j

Reziproke der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: 1/z2 = 0,09756 - 0,12195 j
Nach Wandlung in Polarform: 1/z2 = 0,15617 · ( cos(5,38713) + j · sin(5,38713) )
Nach Wandlung in Exponentialform: 1/z2 = 0,15617 · e^5,38713j

2. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 1:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -2,28069 - 1,09616 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 2,53044 · ( cos(3,58962) + j · sin(3,58962) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 2,53044 · e^3,58962j

2. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = 2,28069 + 1,09616 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 2,53044 · ( cos(0,44803) + j · sin(0,44803) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 2,53044 · e^0,44803j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 1:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -1,36058 + 1,26374 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(2,39308) + j · sin(2,39308) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e^2,39308j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = -0,41414 - 1,81017 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(4,48748) + j · sin(4,48748) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e^4,48748j

3. Wurzel der komplexen Zahl z2 - Lösung 3:
Kartesische Form der komplexen Zahl: z = 1,77472 + 0,54643 j
Nach Wandlung in Polarform: z = 1,85694 · ( cos(0,29869) + j · sin(0,29869) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z = 1,85694 · e^ 0,29869 j

Natürlicher Logarithmus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form der komplexen Zahl: ln(z2) = 1,85679 + 0,89606 j
Nach Wandlung in Polarform: ln(z2) = 2,06169 · ( cos(0,44962) + j · sin(0,44962) )
Nach Wandlung in Exponentialform: ln(z2) = 2,06169 · e^0,44962j

Für durchgeführte Rechenoperationen mit der komplexen Zahl z1 und der komplexen Zahl z2:

Summe der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form der Summe: z1 + z2 = 6 + 3 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 + z2 = 6,7082 · ( cos(0,46365) + j · sin(0,46365) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 + z2 = 6,7082 · e^0,46365j

Differenz der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form der Differenz: z1 - z2 = -2 - 7 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 - z2 = 7,28011 · ( cos(4,43409) + j · sin(4,43409) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 - z2 = 7,28011 · e^4,43409j

Produkt der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form des Produkts: z1 · z2 = 18 + 2 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 · z2 = 18,11077 · ( cos(0,11066) + j · sin(0,11066) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 · z2 = 18,11077 · e^0,11066j

Quotient der komplexen Zahlen z1 und z2:
Kartesische Form des Quotienten: z1 / z2 = -0,04878 - 0,43902 j
Nach Wandlung in Polarform: z1 / z2 = 0,44173 · ( cos(4,60173) + j · sin(4,60173) )
Nach Wandlung in Exponentialform: z1 / z2 = 0,44173 · e^4,60173j

Für die Ermittlung trigonometrischer Funktionen der komplexen Zahl z1:

Sinus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: sin(z1) = 3,42095 + 1,50931 j
Nach Wandlung in Polarform: sin(z1) = 3,73911 · ( cos(0,41551) + j · sin(0,41551) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sin(z1) = 3,73911 · e^0,41551j

Cosinus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: cos(z1) = -1,56563 + 3,29789 j
Nach Wandlung in Polarform: cos(z1) = 3,65066 · ( cos(2,01403) + j · sin(2,01403) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cos(z1) = 3,65066 · e^2,01403j

Tangens der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: tan(z1) = -0,02814 - 1,02384 j
Nach Wandlung in Polarform: tan(z1) = 1,02422 · ( cos(4,68491) + j · sin(4,68491) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tan(z1) = 1,02422 · e^4,68491j

Sinus hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: sinh(z1) = -1,50931 - 3,42095 j
Nach Wandlung in Polarform: sinh(z1) = 3,73911 · ( cos(4,29688) + j · sin(4,29688) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sinh(z1) = 3,73911 · e^4,29688j

Cosinus hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: cosh(z1) = -1,56563 - 3,29789 j
Nach Wandlung in Polarform: cosh(z1) = 3,65066 · ( cos(4,26916) + j · sin(4,26916) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cosh(z1) = 3,65066 · e^4,26916j

Tangens hyperbolicus der komplexen Zahl z1:
Kartesische Form: tanh(z1) = 1,02384 + 0,02839 j
Nach Wandlung in Polarform: tanh(z1) = 1,02423 · ( cos(0,02772) + j · sin(0,02772) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tanh(z1) = 1,02423 · e^0,02772j

Für die Ermittlung trigonometrischer Funktionen der komplexen Zahl z2:

Sinus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: sin(z2) = -56,16227 - 48,50246 j
Nach Wandlung in Polarform: sin(z2) = 74,20707 · ( cos(3,85394) + j · sin(3,85394) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sin(z2) = 74,20707 · e^3,85394j

Cosinus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: cos(z2) = -48,50686 + 56,15717 j
Nach Wandlung in Polarform: cos(z2) = 74,20609 · ( cos(2,28323) + j · sin(2,28323) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cos(z2) = 74,20609 · e^2,28323j

Tangens der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: tan(z2) = 0,00009 + 1,00001 j
Nach Wandlung in Polarform: tan(z2) = 1,00001 · ( cos(1,57071) + j · sin(1,57071) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tan(z2) = 1,00001 · e^1,57071j

Sinus hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: sinh(z2) = 7,74112 - 26,18653 j
Nach Wandlung in Polarform: sinh(z2) = 27,30676 · ( cos(4,99982) + j · sin(4,99982) )
Nach Wandlung in Exponentialform: sinh(z2) = 27,30676 · e^4,99982j

Cosinus hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: cosh(z2) = 7,74631 - 26,16896 j
Nach Wandlung in Polarform: cosh(z2) = 27,29139 · ( cos(5,00018) + j · sin(5,00018) )
Nach Wandlung in Exponentialform: cosh(z2) = 27,29139 · e^5,00018j

Tangens hyperbolicus der komplexen Zahl z2:
Kartesische Form: tanh(z2) = 1,00056 - 0,00037 j
Nach Wandlung in Polarform: tanh(z2) = 1,00056 · ( cos(6,28282) + j · sin(6,28282) )
Nach Wandlung in Exponentialform: tanh(z2) = 1,00056 · e^6,28282j
 

 

Beispiel 1


Beispiel 2


 Beispiel 3


Beispiel 4

 

Beispiel 5
 

Beispiel 6

 

Beispiel 7
 

Beispiel 8

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl

Wikipedia - Darstellungsformen komplexer Zahlen
 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Einheitskreis komplexer Zahlen

---

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---