MathProf - Archimedes - Spirale - Berechnen - Zeichnen

Modul Archimedische Spirale

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Spirallinien] - Archimedische Spirale können Archimedische Spiralen untersucht werden.

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1

 

Grafische Darstellung - Beispiel 2

 

Eine Archimedische Spirale entsteht, wenn eine Halbgerade mit Anfangspunkt 0 gleichförmig um diesen gedreht wird und sich gleichzeitig ein Punkt P auf dieser Geraden gleichförmig von 0 aus bewegt. Es handelt sich um eine Kurve, die durch die Bewegung eines Punktes mit konstanter Geschwindigkeit v auf einem Strahl, der seinerseits den Koordinatenursprung mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit umkreist, entsteht.
 
Die bekannteste Anwendung der Archimedischen Spirale ist die analoge Schallplatte, deren Rillen konstanten Windungsabstand haben. Außerdem kann sie zur Lösung der Quadratur des Kreises verwendet werden.

Benannt ist die Archimedische Spirale nach dem Mathematiker Archimedes, der von 287 - 212 v. Chr. in Syrakus auf Sizilien lebte und Hofmathematiker des Königs Hieron war. Er beschrieb sie im Jahr 225 v. Chr. in seiner Abhandlung "Über Spiralen".

Nach der Quadratrix des Hippias von Chios (ca.460 v.Chr.) ist die Archimedische Spirale die zweitälteste bekannte kinematisch erzeugte Kurve. Hierbei wirken sowohl zwei unterschiedliche Bewegungsarten sowie auch zwei verschiedene bewegte Objekte (Punkt und Gerade) zusammen.

 

Die Archimedische Spirale wird in Polarform beschrieben mit der Funktion:

 

r = a·φ

In Parameterdarstellung kann sie beschrieben werden durch:

x = a·k·cos(k)
y = a·k·sin(k)
 

Sachverhalte zu diesem Thema können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

1. Berechnung der Sektorfläche P₁0P₂:
 

Fläche des Sektors P₁0P₂:

 

A = a²/6 (φ₂³ - φ₁³)

 
2. Berechnung der Länge des Bogens 0P:
 

Länge des Bogens 0P (Gestreckte Länge):

 

l = a/2(φ √(φ²+1) + arsinhφ )

 
3. Berechnung des Krümmungsradius:
 

Krümmungsradius:

 

 

Darstellung

 
Führen Sie Folgendes aus, um Untersuchungen zum Thema Archimedische Spirale durchzuführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Standard oder Details, ob Sie mit dem vorgegebenen Winkelwertebereich von 0° - 10000° durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens Winkelpos. Analysen durchführen möchten, oder ob konkrete Untersuchungen mit frei festlegbaren Winkelwertebereichen vorzunehmen sind.
    

2. Ist der Kontrollschalter Standard aktiviert, so stellen Sie den Wert für Parameter a der Funktion mit Hilfe des Rollbalkens Parameter a ein. Den zu durchlaufenden Wertebereich für Winkel φ legen Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Winkelpos. fest. Winkelangaben werden im Gradmaß angezeigt.
    

3. Wurde der Kontrollschalter Details aktiviert und möchten Sie den darzustellenden (zu untersuchenden) Winkelwertebereich im Gradmaß festlegen, so können Sie die Schaltfläche Winkel auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    

4. Bei einer Aktivierung des Kontrollschalters Standard steht die Schaltfläche Simulation zur Verfügung. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkt(e): Beschriftung von Punkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte des Punktes P ein-/ausschalten
• Position: Positionsmarkierung des Punktes P ein-/ausschaltenn
• Füllen: Flächenfüllung unter Kurve ein-/ausschalten
• Kreis: Darstellung des Kreises mit Radius OP ein-/ausschalten

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

   

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
 

 

Logarithmische Spirale

Funktionen in Polarform

 

 

Beispiel 1:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalters Standard, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 0,3 und Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 1600, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform r = 0,3·φ  über einen Winkelbereich von 0° ≤ φ ≤ 1600° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens beträgt: l = 117,652

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P₁0P₂ mit φ₁ = 0 und φ₂ = 1600°) beträgt: 326,65 FE

 

Die Koordinatenwerte des Punkts bei der Winkelposition 1600° ermittelt das Programm mit: P (-7,872 /2,865)

 

Beispiel 2:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Details, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 2, bedienen Sie die Schaltfläche Winkel, geben Sie die Werte 45 und 360 ein und bestätigen Sie mit Ok.

 

Hierauf stellt das Programm die Kurve r = 2·φ  innerhalb des definierten Wertebereichs von 45° ≤  φ ≤ 360° dar und ermittelt für das Spiralensegment:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens beträgt l = 40,793.

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P₁0P₂ mit φ₁ = 45° und φ₂ = 360°) beträgt 165,044 FE.

 

Für die Koordinaten der Punkte bei den Winkelpositionen 45° und 360° gibt das Programm aus:

 

P1 (1,111 / 1,111)

P2 (12,566 / 0)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Archimedische Spirale zu finden.

  

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Logartihmische Spirale

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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