MathProf - Analyse - Affine - Abbildung - Fixelement - Fixpunkt

 

Modul - Analyse affiner Abbildungen

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Affine Abbildung] - Analyse affiner Abbildungen ermöglicht die Bestimmung der Koeffizienten einer affinen Abbildung, anhand vorgegebener transformierter Bildpunkte und Originalbildpunkte.

 

 

Mit Hilfe dieses kleinen Unterprogramms besteht die Möglichkeit, die Parameter einer Abbildungsmatrix (und eines Translationsvektors) ermitteln zu lassen, die zur Durchführung einer affinen Transformation benötigt werden, wenn die Punktkoordinaten eines Originals, wie auch einer Abbildung bekannt sind. Werden die Ortspunkte eines Objekts (Ursprungsabbildung oder transformierte Abbildung) verändert, so ermittelt das Programm die entsprechenden Koeffizienten der Matrix und des Translationsvektors die die Durchführung einer derartigen Transformation ermöglicht und gibt diese aus.

Fixelemente:
 
Fixelemente sind Elemente, welche bei Abbildungen auf, bzw. in sich erhalten bleiben. Es sind dies Fixpunkt, Fixpunktgerade sowie Fixgerade.
 

• Ein Fixpunkt ist ein Punkt, welcher bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird
• Eine Fixpunktgerade ist eine Gerade deren Punktmenge bei einer Abbildung Fixpunkte sind
• Eine Fixgerade ist eine Gerade, welche bei einer Abbildung exakt auf sich selbst abgebildet wird

Mit Hilfe nachfolgend aufgeführter linearer Gleichungssysteme kann eine Bestimmung der Fixelemente erfolgen:
 
x = A·x + b
 
bzw.
 
x1 = a11·x1 + a12·x2 + b1
x2 = a21·x1 + a22·x2 + b2
 
Besitzt ein derartiges Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so existiert exakt ein Fixpunkt. Besitzt es unendlich viele Lösungen, so existiert eine Fixpunktgerade. Verfügt es über keine Lösung, so existiert kein Fixpunkt.
 
Zugrunde gelegt wird hierbei:
 
Abbildungsmatrix:
 
 

Translationsvektor:
 
 
 

Weiteres siehe Affine Abbildung.

 

Um diese Zusammenhänge untersuchen zu können, stellt das Modul ein Original, sowie eine Abbildung mit jeweils drei frei positionierbaren Punkten zur Verfügung (Dreiecke).
 

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

1. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punktes exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
2. Um die Lage eines Punktes mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
3. Soll das Programm eine Untersuchung bzgl. Fixelementen durchführen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchens Analyse.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Füllen: Farbfüllung der Dreiecke ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Affine Abbildung

 

 

Legen Sie nach einem Klick auf die Schaltfläche Punkte durch die Eingabe der entsprechenden Koordinatenwerte die Punkte des Ursprungsdreiecks und des transformierten Dreiecks, wie folgt fest:

 

Für die Ursprungskoordinaten:

 

A (8 / 2)

B (18 / 6)

C (13 / 1)

 

Für die transformierten Koordinaten:

 

A' (-2 / -6)

B' (-6 / 6)

C' (-10 / -6)

 

Hierauf ermittelt das Programm die zur Durchführung dieser Transformation benötigten Koeffizienten der Abbildungs- und Translationsmatrix mit:

 

 

Zudem gibt es nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Analyse für die Eigenschaften der Abbildung bzgl. Fixelementen aus:

 

Es existiert ein Fixpunkt bei F (10 / 9,2)

Eigenwerte: 2,233 | -1,433

Eigenvektor 1: 0,583 | 1

Eigenvektor 2: -8,583 | 1

Gleichung der Fixgeraden 1: Y = 1,717·X-7,965

Gleichung der Fixgeraden 2: Y = -0,117·X+10,365
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Affine Abbildung zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Affine Abbildung

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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