MathProf - Allgemeiner Kegelschnitt - Hauptachsentransformation

 

Modul Allgemeine Kegelschnitte

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Allgemeine Kegelschnitte] - Allgemeine Kegelschnitte ermöglicht die Durchführung von Analysen und die Darstellung von Kegelschnitten, die in Form der allgemeinen Gleichung 2. Ordnung gegeben sind.

 

 

Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts besitzt die Form:

 

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

a, b, c, d, e und f sind beliebige reelle Koeffizienten. Ein Kegelschnitt entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit dem Neigungswinkel α der Mantellinie durch eine Ebene, welche den Neigungswinkel β besitzt.

 

Ellipse: 0 ≤  b < α

Parabel: α = β

Hyperbel: π/2 ≥ b  > α

 

Beim Schnitt durch die Kegelspitze entstehen Punkt, Geradenpaar und Gerade.

                                                              

Durch eine Drehung des Koordinatensystems mit der Koordinatentransformation

 

 x = x' cos(α) - y' sin(α)                      

 y = y' sin(α) + y' cos(α)

 

lässt sich für eine geeignete Winkelgröße a stets erreichen, dass das gemischt-quadratische Glied x'·y' entfällt. Für a = c muss α = 45° gewählt werden. Ist a ≠ c muss a so gewählt werden, dass 2a = 2b / (a - c). Hierdurch entsteht für den Kegelschnitt die transformierte allgemeine Form:

 

ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

 

Geometrisch gedeutet bedeutet dies, dass die Achsen dieses Kegelschnitts parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen (Hauptachsentransformation). Für die Diskussion dieser Kegelschnittgleichung gilt:

                     

bei a ≠ 0 und c ≠ 0 mit n = d²/a + e²/c - f:

 

n > 0	a > 0, c > 0	Ellipse
n > 0	a < 0, c < 0	imaginär
n > 0	a · c < 0	Hyperbel
n = 0	a · c > 0	Punkt
n = 0	a · c < 0	Paar sich schneidender Geraden
n < 0	a > 0, c > 0	imaginär
n < 0	a < 0, c < 0	Ellipse
n < 0	a · c < 0	Hyperbel

 

bei a = 0 oder c = 0:

 

a = 0, c ≠ 0	d ≠ 0	Parabel
a = 0, c ≠ 0	d = 0	Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn e² - fc = 0
a ≠ 0, c = 0	e ≠ 0	Parabel
a ≠ 0, c = 0	e = 0	Paar zusammenfallender paralleler Geraden wenn d² - fa = 0
a = 0, c = 0	d ≠ 0, e ≠ 0	Gerade
a = 0, c = 0	d = 0, e ≠ 0	Parallele zur x-Achse
a = 0, c = 0	d ≠ 0, e = 0	Parallele zur y-Achse
a = 0, c = 0	d = 0, e = 0	imaginär

 

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In diesem Unterprogramm können Kegelschnitte der oben aufgeführten Arten untersucht werden. Aus den eingegebenen Werten für die Koeffizienten a, b, c, d, e und f ermittelt das Programm u.a.:
 

• Art des Kegelschnitts (entartet, nichtentartet)

• Koeffizienten der transformierten Gleichung des Typs ax² + cy² + 2dx + 2ey + f = 0

• Eigenschaften des Kegelschnitts

• Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.

 

Das Modul gibt die Werte folgender Eigenschaften allgemeiner Kegelschnitte aus:
 

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Kegelwinkel
• Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
• Halbachsen a und b
• Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
• Parameter 2p
• Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2
• Gleichungen der Asymptoten

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Gleichungen der Normalen
• Länge der Brennstrahlen

 

Ellipse (Kreis):

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Kegelwinkel
• Ortskoordinaten des Mittelpunkts M
• Halbachsen a und b
• Lineare Exzentrizität e und numerische Exzentrizität e
• Parameter 2p
• Ortskoordinaten der Brennpunkte B1 und B2

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle (nur bei graf. Darstellung):

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Gleichungen der Normalen
• Länge der Brennstrahlen

 

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts (nur bei graf. Darstellung):

• Kegelwinkel
• Ortskoordinaten des Scheitelpunkts S
• Ortskoordinaten des Brennpunkts B
• Numerische Exzentrizität e
• Parameter 2p
• Brennpunkt B

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Gleichungen der Normalen
• Länge der Brennstrahlen

 

 

 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Berechnungen mit Kegelschnitten dieser Art durchzuführen und sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen:
 

1. Geben Sie die Werte der Koeffizienten a, b, c, d, e bzw. f der Gleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0 in die dafür vorgesehenen Felder ein. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
    
2. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
    
3. Soll bei der Ausgabe der grafischen Darstellung eine Untersuchung der Kurve an einer bestimmten Abszissenposition durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und legen durch die Eingabe des entsprechenden Werts im Formularbereich Analyse bei X = den entsprechenden Abszissenwert fest, bei welchem diese durchgeführt werden soll.
    
4. Nach einer Benutzung der Schaltfläche Darstellen wird der entsprechende Kegelschnitt grafisch dargestellt.

Bei der Ausgabe der grafischen Darstellung werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:

B,B1,B2: Brennpunkt

M: Mittelpunkt

S: Scheitelpunkt

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu.

Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung oder einem mathematischen Beweis zu folgen.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte des Kegelschnitts ein-/ausschalten
• Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)

Soll eine Untersuchung durchgeführt werden und wurde das Kontrollkästchen Analyse auf dem Hauptformular des Unterprogramms aktiviert, so stehen zudem folgende Kontrollkästchen zur Verfügung:

• Tangente(n): Darstellung der Tangente(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Normale(n): Darstellung der Normale(n) des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Brennstrahl(en): Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Kegelschnitte durch 5 Punkte

 

 

Beispiel 1 - Hyperbel:

 

Für einen Kegelschnitt, der durch die allgemeine Gleichung 3x² - 5xy - 4y² + 4x + 3y + 20 = 0 beschrieben wird, ermittelt das Programm nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter, allgemeiner Form (nach Durchführung der Hauptachsentransformation):

 

3,801x² - 4,801y² + 2,894x + 4,078y + 20 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Hyperbel

Kegelwinkel: -17,769°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (-0,233 / 0,521)

Halbachse a: 2,057

Halbachse b: 2,312

Lineare Exzentrizität e: 3,094

Numerische Exzentrizität ε: 1,504

Parameter 2p: 5,196

Brennpunkt: B1 (-1,177 / -2,426)

Brennpunkt: B2 (0,711 / 3,467)

 

Es sind die Eigenschaften des Kegelschnitts an Stelle x = 2 zu untersuchen.

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse bei x = und geben Sie diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen auf dem daraufhin zur Verfügung stehenden Bedienformular aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (2 / 2,406)
Punkt 2: TP2 (2 / -4,156)

Tangente durch TP1: Y = -0,151·X+2,104
Tangente durch TP2: Y = -1,401·X-1,354

Normale durch TP1: Y = -6,613·X+15,631
Normale durch TP2: Y = 0,714·X-5,583
Länge Brennstrahl TP1-B1: 5,783
Länge Brennstrahl TP1-B2: 1,669

Länge Brennstrahl TP2-B1: 3,618
Länge Brennstrahl TP2-B2: 7,732

 

Beispiel 2 - Ellipse:

 

Für einen Kegelschnitt, der durch die allgemeine Gleichung -4x² - 0,6y² - 8x = 0 beschrieben wird, ermittelt das Programm nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter, allgemeiner Form (nach Durchführung der Hauptachsentransformation):

 

-4x² - 0,6y² - 8x = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Ellipse

Kegelwinkel: 0°

Mittelpunkt des Kegelschnitts: M (-1 / 0)

Halbachse a: 1

Halbachse b: 2,582

Lineare Exzentrizität e: 2,38

Numerische Exzentrizität ε: 0,922

Parameter 2p: 13,333

Brennpunkt: B1 (-1 / -2,38)

Brennpunkt: B2 (-1 / 2,38)

 

Es sind die Eigenschaften dieses Kegelschnitts an Stelle x = -1,5 zu untersuchen.

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse bei x = und geben Sie diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen auf dem daraufhin zur Verfügung stehenden Bedienformular aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Punkt 1: TP1 (-1,5 / 2,236)
Punkt 2: TP2 (-1,5 / -2,236)

Tangente durch TP1: Y = 1,491·X+4,472
Tangente durch TP2: Y = -1,491·X-4,472

Normale durch TP1: Y = -0,671·X+1,23
Normale durch TP2: Y = 0,671·X-1,23

Länge Brennstrahl TP1-B1: 4,644
Länge Brennstrahl TP1-B2: 0,52

Länge Brennstrahl TP2-B1: 0,52
Länge Brennstrahl TP2-B2: 4,644

 

Beispiel 3 - Parabel:

 

Für einen Kegelschnitt, der durch die allgemeine Gleichung 9x² - 24xy + 16y² + 2x + 7y + 4 = 0 beschrieben wird, ermittelt das Programm nach Eingabe der entsprechenden Koeffizientenwerte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

 

Gleichung des Kegelschnitts in transformierter, allgemeiner Form (nach Durchführung der Hauptachsentransformation):

 

25y² + 5,8x + 4,4y + 4 = 0

 

Für die Eigenschaften dieses Kegelschnitts gibt das Programm aus:

 

Typ: Parabel

Kegelwinkel: 36,87°

Scheitelpunkt: S (-0,472 / -0,464)

Lineare Exzentrizität e: 1

Parameter 2p: 0,232

Brennpunkt: B (-0,658 / -0,603)

 

Es sind die Eigenschaften dieses Kegelschnitts an Stelle x = -4 zu untersuchen.

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse bei x = und geben Sie diesen Wert in das dafür vorgesehene Feld ein. Werden nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kontrollkästchen Normale, Tangente sowie Brennstrahlen auf dem daraufhin zur Verfügung stehenden Bedienformular aktiviert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Koordinatenwerte der Kurve an untersuchter Stelle:

 

Punkt 1: TP1 (-4 / -1,95)
Punkt 2: TP2 (-4 / -4,488)

Tangente durch TP1: Y = 0,571·X+0,336
Tangente durch TP2: Y = 0,929·X-0,774

Normale durch TP1: Y = -1,75·X-8,949
Normale durch TP2: Y = -1,077·X-8,796

Länge Brennstrahl TP1-B: 3,603
Länge Brennstrahl TP2-B: 5,124
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6

 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
Wikipedia - Hauptachsentransformation
 

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Allgemeine Kegelschnitte
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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