MathProf - Gerade - Allgemeine Form - Implizite Form - Gleichung

Modul Allgemeine Form einer Gerade

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Allgemeine Form können Geraden in allgemeiner Form untersucht werden.

 

Geraden in der Ebene können u.a. in einer der folgenden Formen definiert werden:

• Achsenabschnittsform

• Punkt-Richtungs-Form (Steigungsform)

• Zwei-Punkte-Form

• Hessesche Normalenform

• Allgemeine Form

 
Geradengleichung:

Als Geradengleichung wird eine Gleichung bezeichnet, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Gerade setzt sich aus allen Punkten zusammen, deren Koordinaten die Gleichungsbedingung erfüllen.

Allgemeine Form (implizite Form oder Normalform):

Bei einer allgemeinen Form einer Gerade besitzen die Koeffizienten a und b der Gleichung die Werte der Koordinaten des Normalenvektors der Gerade. Die Gleichung, die eine darartige Gerade beschreibt, wird als implizite Geradengleichung, implizite Form oder Normalform einer Geradengleichung bezeichnet.

In diesem Unterprogramm können Geraden untersucht werden, die in allgemeiner Form bzw. Normalform vorliegen. Sie werden durch die allgemeine Form der Geradengleichung wie nachfolgend gezeigt beschrieben:

a·x + b·y + c = 0

mit a ≠ 0 und b ≠ 0

 

Das Programm ermittelt in diesem Modul:

• Gleichung der Geraden in allgemeiner Form
• Gleichung der Geraden in Steigungsform
• Abstand der Geraden vom Ursprung
• Nullstelle der Geraden
• Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Form
• Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden dieser Form

 
Nachfolgend sind wesentliche Eigenschaften oben beschriebener Arten von Geraden aufgeführt.
 
Ist c > 0, so lautet die Gleichung einer Gerade in Normalform:



bzw.



Zudem ergeben sich folgende Zusammenhänge:







Der Abstand eines Punktes P(x1,y1) von einer Geraden dieser Form kann berechnet werden mit:



e > 0: Punkt P1 und der Nullpunkt der Geraden liegen auf verschiedenen Seiten der Gerade
e = 0: Punkt P1 liegt auf der Geraden
e < 0: Punkt P1 und der Nullpunkt der Geraden liegen auf derselben Seite der Gerade
 
 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden dieser Art durchzuführen:
 

1. Stellen Sie mit den Schiebereglern a, b und c für Gerade g1 auf dem Bedienformular die Werte für die Koeffizienten der Geradengleichung ein.
    
2. Sollen gleichzeitig zwei Geraden dieser Art dargestellt und der Schnittpunkt, sowie die Winkelhalbierenden dieser ausgegeben werden, so aktivieren Sie die Kontrollkästchen 2 Geraden, SP sowie WH und bedienen ggf. die zur Verfügung stehenden Schieberegler für Gearde g2, um die Koeffizienten der zweiten Geradengleichung zu verändern.
    
3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
• Achs-SP: Darstellung der Schnittpunkte der Gerade(n) mit der Y-Achse sowie derer Nullstellen ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Gerade - Gerade

Gerade - Gerade - Interaktiv

Gerade - Punkt

Gerade – Punkt - Interaktiv

Geradensteigung

 

Nach einer Positionierung der Rollbalken für Gerade g1 auf die Werte a = 1, b = -4 und c = 8, gibt das Programm bzgl. der Eigenschaften der dargestellten Gerade Folgendes aus:

Gleichung der Geraden: Y = a·x+b·y+c = 1·x-4·y+8 = 0

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = m·x+b = 0,25·x+2

Steigungswinkel der Geraden: 14,036°

Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 1,94

Nullstelle der Geraden: N (-8 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 2)

 

Werden die Kontrollkäschen 2 Geraden, WH sowie SP aktiviert und werden die

die Rollbalken für Gerade g2 auf die Werte a = 6, b = -4 und c = -8 positioniert, so gibt das Programm zusätzlich aus:

 

Für die Eigenschaften der zweiten Gerade g2:

 

Gleichung der Geraden: Y = a·x+b·y+c = 6·x-4·y+8 = 0

Gleichung der Geraden in Steigungsform: Y = m·x+b = 1,5·x-2

Steigungswinkel der Geraden: 56,31°

Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 1,109

Nullstelle der Geraden: N (1,333 / 0)

Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / -2)

 

Für die Gleichungen der Winkelhalbierenden beider Geraden:

 

Winkelhalbierende 1: Y = 0,705·X+0,545

Winkelhalbierende 2: Y = -1,419·X+7,341

 

Der Schnittpunkt beider Geraden wird ermittelt mit: S (3,2 / 2,8)

Der Schnittwinkel beider Geraden beträgt 42,274°.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Geradengleichung und Wikipedia - Normalenform zu finden.

  

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gerade in Achsenabschnittsform

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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