MathProf - Addieren - Subtrahieren - Intervalle - Zahlengerade

Fachthemen: Addition und Subtraktion rationaler Zahlen - Zahlengerade - Intervalle

MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
für das Modul zur Verdeutlichung der Methode der Addition
und Subtraktion rationaler Zahlen am Zahlenstrahl.

 

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Themen und Stichworte zu diesem Modul: Addieren und Subtrahieren - Zahlengerade - Intervalle - Addition - Subtraktion - Addieren - Subtrahieren - Addition rationaler Zahlen - Subtraktion rationaler Zahlen - Rechnen mit rationalen Zahlen - Addieren rationaler Zahlen - Subtrahieren rationaler Zahlen - Rechnen mit negativen Zahlen - Rechnen - Vorzeichen - Vorzeichenregeln - Positives Vorzeichen - Negatives Vorzeichen - Positive Vorzeichen - Negative Vorzeichen - Grundlagen - Rechner - Rechnen - Berechnen - Berechnung - Ergebnis - Beispiele - Darstellen - Graph - Anordnung - Zahlen - Größer - Kleiner - Gleich - Positive Zahlen - Negative Zahlen - Erklärung - Einfach erklärt - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Herleitung - Beweis - Beschreibung - Bedeutung - Was bedeutet - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Mathe - Mathematik - Lernen - Erlernen - Begriff - Begriffe - Einführung - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Definition - a gleich b - a kleiner b - a größer b - a plus b - a minus b - Endliche Intervalle - Unendliche Intervalle - Endliches Intervall - Unendliches Intervall - Intervall - Geschlossenes Intervall - Abgeschlossenes Intervall - Offenes Intervall - Abgeschlossene Intervalle - Offene Intervalle - Halboffenes Intervall

 

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Modul Addition - Subtraktion

 
Im kleinen Unterprogramm [Algebra] - [Sonstiges] - Addition - Subtraktion kann die Methode der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen am Zahlenstrahl verdeutlicht werden.

Mit Hilfe des Zahlenstrahls lässt sich das Prinzip der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen grafisch veranschaulichen.

Rationale Zahlen sind Klassen von Quotienten, die Punkten auf der reellen Zahlengerade entsprechen. Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. Ihr Symbol ist ℚ.  Positive rationale Zahlen bilden die Menge ℚ+ und negative rationale Zahlen bilden die Menge ℚ−.
 
Vorzeichen: Positive Zahlen sind Zahlen, die größer als null sind. Ihr Vorzeichen ist das +. Negative Zahlen sind Zahlen, die kleiner als null sind. Sie besitzen das Vorzeichen -.

 
Addieren (Addition) rationaler Zahlen - Vorzeichenregeln:

Zwei positive Zahlen werden addiert, indem ihre Beträge addiert werden. Das Ergebnis dieser Rechenoperation ist stets positiv.

Beispiel: 4+7 =|4|+|7| = 11

Eine positive und eine negative Zahl werden addiert, indem der kleinere der beiden Beträge vom größeren subtrahiert wird. Das Resultat erhält das Vorzeichen des Summanden der den größeren Betrag besitzt.

Beispiel 1: 4+(-7) = -(4-7)= -3
Beispiel 2: (-4)+7 = 4-7 = -3

Zwei negative Zahlen werden addiert, indem ihre Beträge addiert werden. Das Ergebnis dieser Rechenoperation ist stets negativ.

Beispiel: (-4)+(-7) = -(|-4|+|-7|) = -11


Subtrahieren (Subtraktion) rationaler Zahlen - Vorzeichenregeln:

Das Subtrahieren (die Subtraktion) zweier rationaler Zahlen kann stets auf die Addition zurückgeführt werden. Anstelle den Subtrahend vom Minuend zu subtrahieren, wird die Gegenzahl des Subtrahenden zum Minuend addiert. Hierauf können die Regeln die bei der Addition gelten, angewandt werden.
  

 
Durch eine Positionierung der zur Verfügung stehenden Schieberegler Zahl A und Zahl B können Sie die Werte zweier rationaler Zahlen einstellen. Vom Nullpunkt des Zahlenstrahls ausgehend, werden die Werte dieser Zahlen in Form von Pfeilen dargestellt. Soll eine Addition, oder Subtraktion durchgeführt werden, so müssen die Pfeile in die entsprechende Position gebracht werden.

Addition:

Der zweite Pfeil B muss an das Ende des ersten Pfeils A mit gleicher Pfeilrichtung geschoben werden. Der Ergebniswert der Addition A+B der beiden Zahlen kann an der Pfeilspitze des zweiten Pfeils entnommen werden.

Subtraktion:

Der zweite Pfeil B muss an das Ende des ersten Pfeils A mit entgegengesetzter Pfeilrichtung geschoben werden. Der Ergebniswert der Addition A+B der beiden Zahlen kann an der Pfeilspitze des zweiten Pfeils entnommen werden.

Pfeil A wird durch die Farbe grün gekennzeichnet, Pfeil B durch die Farbe rot und das Ergebnis mit der Farbe violett.
 

Die grafische Darstellung einer reellen Zahl erfolgt durch einen Punkt auf der Zahlengerade. Die Zahlengerade ermöglicht die Veranschaulichung der reellen Zahlen in Form von Punkten auf einer Geraden. Positive Zahlen werden rechts des Nullpunkts abgetragen, negative Zahlen werden nach links abgetragen.




Anordnung der Zahlen auf der Zahlengerade:
 



a < b (a kleiner b)




a = b (a gleich b)




a > b (a größer b)


Intervalle:

Mit einem Intervall ist eine spezielle Teilmenge von R definiert, welche auf der Zahlengerade mittels zwei Randpunkten a und b begrenzt wird. 

Als endliches Intervall (beschränktes Intervall) wird ein Intervall bezeichnet, das eine endliche Länge besitzt. Das unendliche Intervall verfügt lediglich über eine einzelne untere oder eine obere Grenze, die entweder zum Intervall gehört oder nicht.

Als geschlossenes (abgeschlossenes) Intervall wird die Menge aller Zahlen bezeichnet, die sich zwischen zwei Grenzwerten befindet. In dieser Menge sind die beiden Grenzen mit eingeschlossen.

Ein halboffenes Intervall besitzt eine eine offene sowie eine geschlossene Grenze. Die offene Grenze enthält den Grenzwert selbst nicht, die geschlossene Grenze enthält auch den Grenzwert.

Nachfolgend sind die entsprechenden Teilmengen von R aufgeführt.

Endliche Intervalle:

[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b} bzw. a ≤ x ≤ b (abgeschlossenes Intervall - geschlossenes Intervall)
[a,b) = {x | a ≤ x < b} bzw. a ≤ x < b (halboffenes Intervall)
(a,b] = {x | a < x ≤ b} bzw. a < x ≤ b (halboffenes Intervall)
(a,b) = {x | a < x < b} bzw. a < x < b (offenes Intervall)

Unendliche Intervalle:

[a,∞) = {x | a ≤ x < ∞}    bzw. a ≤ x < ∞   oder   x ≥ a
(a,∞) = {x | a < x < ∞}    bzw. a < x < ∞   oder   x > a
(-∞,b] = {x | -∞ < x ≤ b}    bzw. -∞ < x ≤ b   oder   x ≤ b
(-∞,b) = {x | -∞ < x < b}    bzw. -∞ < x < b   oder   x < b
(-∞,0) ≡ R^-    bzw. -∞ < x < 0   oder   x < 0
(0,∞) ≡ R⁺    bzw. 0 < x < ∞   oder   x < 0
(-∞,∞) ≡ R    bzw. -∞ < x < ∞   oder   | x | < ∞
 

Durch die Auswahl des entsprechenden Kontrollschalters auf dem Bedienformular kann zwischen folgenden Prinizpien ausgewählt werden:

• Addition
• Subtraktion
• Addition und Subtraktion

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben.

Wird die Position des Rollbalkens für Zahl A auf -0,9 und die Position des Rollbalkens für Zahl B auf 2,3 eingestellt, so wird die Darstellung ausgegeben, die die Durchführung folgender Rechenoperationen verdeutlicht:

Addition:     (-0,9) + 2,3 = 1,4

Subtraktion: -0,9 - (2,3) = -3,2

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Addition
Wikipedia - Subtraktion
Wikipedia - Grundrechnart

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

MathProf 5.0 - Unterprogramm Irrationale Zahlen - Wurzel

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
• Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.