MathProf - Addition - Subtraktion - Komplexe Zahlen - Real - Imaginär

 

Modul Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

---

Das Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Addition komplexer Zahlen ermöglicht die Durchführung der Addition komplexer Zahlen mit Hilfe einer Vektoraddition in der Gaußschen Zahlenebene.

 

Fasst man den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z = x + jy als kartesische Koordinaten eines Punktes P in der x,y-Ebene auf, so lässt sich jeder komplexen Zahl ein Bildpunkt P(z) = (x;y) zuordnen, und umgekehrt. Diese Bildebene heißt komplexe Ebene oder Gauß'sche Zahlenebene.

 

Die Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen erfolgt komponentenweise. Es gelten hierbei die gleichen Regeln wie bei zweidimensionalen Vektoren, wobei die Vektorkomponenten dem Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl entsprechen. Geometrisch erfolgt eine Vektoraddition durch die Parallelverschiebung des Vektors z1 an den Vektor z2. Der resultierende Vektor ist z3 = z1 + z2.

 

 

Betrag: |z| = √ (x² + y²)

Winkel: φ = arctan(y / x)

 

Für die Addition zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + j (y₁ + y₂)

 

Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + j (y₁ - y₂)

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Addition bzw. Subtraktion, ob eine Addition oder eine Subtraktion zweier komplexer Zahlen durchgeführt werden soll.
    

2. Um einen Zeiger exakt zu positionieren, klicken Sie auf die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    

3. Möchten Sie die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    

4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Winkelpfeile: Darstellung der richtungsweisenden Winkelpfeile ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Schreibweisen komplexer Zahlen

Berechnungen mit komplexen Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

 

 

Wird Zeiger Z1 auf Punkt Z1 (2 / 10) und Zeiger Z2 auf Punkt Z2 (-8 / -6) positioniert, so gibt das Programm Folgendes aus:

 

Zahl 1:

z1 = 2 + 10j

Winkel: 78,89°

Betrag: 10,198

 

Zahl 2:

z2 = -8 - 6j

Winkel: 216,87°

Betrag: 10

 

Addition:

 

Nach Durchführung einer Addition (nach Aktivierung des Kontrollschalters Addition) wird für Zahl z3 ermittelt:

 

z3 = z1 + z2 = -6 + 4j

Winkel: 146,31°

Betrag: 7,211

 

Subtraktion:

 

Wird Zahl z2 von Zahl z1 subtrahiert (nach Aktivierung des Kontrollschalters Subtraktion), so werden für Zahl z3 folgende Ergebnisse ausgegeben:

 

z3 = z1 - z2 = 10 + 16j

Winkel: 57,995°

Betrag: 18,868
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

    
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Multiplikation und Division komplexer Zahlen

---

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---