MathProf - Funktion - Mathematische Ausdrücke - Terme - Syntax
Themen: Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen zur Durchführung von Berechnungen sowie zur Ausgabe grafischer Darstellungen - Eigenschaften wichtiger und trigonometrischer Funktionen
MathProf - Ein Programm zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für angewandte Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
zu Syntaxregeln, welche zur Definition der Terme
mathematischer Funktionen, mathematischer Operatoren, mathematischer Zeichen, Variablen und mathematischer Konstanten in MathProf 5.0 gelten.
Nachfolgend aufgeführt finden Sie eine Übersicht der mathematischen Funktionen, welche in diesem Programm Verwendung finden können. Zudem werden Konstanten, Parameter und Operatoren sowie hierfür geltende Syntaxregeln, welche zur Definition von Funktionstermen verwendbar sind, aufgeführt. Sie haben Gültigkeit in allen hierfür relevanten Unterprogrammen.
Unter Anwendung dieser können sowohl Terme in Modulen zur Durchführung numerischer Berechnungen, wie auch in Programmteilen zur Darstellung zweidimensionaler oder dreidimensionalen Grafiken bzw. zum Plotten der Graphen von Funktionen definiert werden.
Bei korrekter Definition werden die entsprechenden Symbole und Funktionsterme vom Rechner in Fließkommazahlen gewandelt und zur Ermittlung relevanter interner Berechnungsergebnisse sowie zur Ausgabe grafischer Darstellungen verwendet.
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| Themen und Stichworte I: Funktionsterme - Funktionsterm - Funktionsrechner - Terme - Funktion - Regeln - Werte - Variablen - Parameter - Hyperbelfunktionen - Logarithmusfunktionen - Wurzelfunktionen - Elementare Funktionen - Übersicht - Eingabe - Operatoren - Operationen - Mathematische Operationen - Regeln - Syntax - Schreibweise - Begriff - Begriffe - Mathematische Zeichen - Vorzeichen - Exponenten - Klammern - Klammerregeln - Definieren - Trigonometrische Funktionen - Hyperbelfunktion - Betrag einer Zahl - Positive Zahlen - Euler Funktion - Potenzen - Negative Zahlen - Winkelfunktionen - Zum Quadrat - Wurzel - Quadratwurzel - Kubikwurzel - Dritte Wurzel - Kubische Wurzel - Vierte Wurzel - n-te Wurzel - Wurzelexponent - Gaußsches Fehlerintegral - Arcusfunktionen - Hyperbolische Funktionen - Areafunktionen - Sinus - Kosinus - Tangens - Cotangens - Logarithmus - Tangensfunktion - Cotangensfunktion - Sinusfunktion - Cosinusfunktion - Inverser Tangens - Inverser Sinus - Inverser Cosinus - Kehrwertfunktion - Fakultätsfunktion - Tangens hyperbolicus - Sinus hyperbolicus - Cosinus hyperbolicus - Arcussinus - Arcuscosinus - Arcustangens - Sekans - Secans hyperbolicus - Cotangens hyperbolicus - Arcussinus hyperbolicus - Arcuscosinus hyperbolicus - Arcustangens hyperbolicus - Arcuscotangens hyperbolicus - Areasinus hyperbolicus - Areatangens hyperbolicus - Inverse Funktionen - Hyperbolischer Tangens - Hyperbolischer Sinus - Allgemeine Logarithmusfunktion - Logarithmen - Logarithmus naturalis - Natürlicher Logarithmus - Logarithmus lg - Logarithmus ln - Logarithmus zur Basis 2 - Logarithmus zur Basis 10 - Log zur Basis 2 - Log zur Basis 10 - Logarithmus dualis - Dekadischer Logarithmus - Zweierlogarithmus - Zehnerlogarithmus - Cosinus-Integral - Exponential-Integral - Logarithmisches Integral - Sinus-Integral - n-te Potenz - Funktionsdefinition - Typen - Funktionstypen - Error function - Fehlerfunktion - Erf - Fresnel Sinus - Fresnel Cosinus - Hyperbolisch - Winkelfunktionswerte - Absolute Werte - Absoluter Wert - * - - + - / - ^ - Hoch - Cosinus hoch - Sinus hoch - Tangens hoch - tan^-1 - sin^-1 - cos^-1 - Sinh - Cosh - Tanh - Coth - Arcsin - Arccos - Arctan - Arccot - Ln - Ld - Log - Log base - Sin - Cos - Tan - Abs - Cot - Arcsinh - Arccosh - Arctanh - Arccoth - Arcsec - Arccsc - Sech - Csch - Arcsech - Exp2 - Exp10 - Abs - Sqrt - Sqr - Frac - Int - LnFac - X - Y - pi - pi/2 - pi/3 - pi/4 - pi/6 - pi - 0 - 1 - 0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,4 - 0,5 - 0,6 - 0,7 - 0,8 - 0,9 - Konstante e - Eulersche Zahl - E Zahl - Vorzeichenfunktion - Ceil Funktion - Floor Funktion - Sgn Funktion - Sec Funktion - Csc Funktion - Degtorad - Radtodeg - Unbekannte - Definitionsbereich - Definitionsmenge - Wertebereich - Wertemenge - Symmetrie - Eigenschaften - If Funktion - Abhängige Variable - Unabhängige Variable |
| Themen und Stichworte II: Gammafunktion - Eulersche Gammafunktion - Psi Funktion - Error Function - Ln Funktion - Lg Funktion - Exp Funktion - Exp2 Funktion - Exp10 Funktion - Arctan2 - Int - Integer - Max Funktion - Min Funktion - Trunc - Truncate - Clamp Funktion - Sprungfunktion - Heavyside Funktion - Stufenfunktion - Treppenfunktion - Fresnel Integral - Fresnelsche Integrale - Fakultät - Ableiten - Ableitung - Rechner - Wurzelterm - Absolutbetrag - Absolutwert - Funktionsterm - Funktionsterme - Bruchterm - Begriff - Begriffe - Zahlen - Hoch - Hochzahlen - Maximalwert - Mininmalwert - Signum - Signumfunktion - Betragsfunktion - Potenzfunktion - Negative Exponenten - Negative Hochzahlen - Negative Potenz - Aufrundungsfunktion - Abrundungsfunktion - Zufallsfunktion - Zufallsvariable - Random - Randomizer - Natürliche Exponentialfunktion - Absoluter Betrag - Absolutbetrag - Absoluter Wert - Runden - Absolute Werte - Power Funktion - Konstanten - Negation - Negierung - Gaußklammer - Gauß Klammer - Integralsinus - Integralcosinus - Integralexponentialfunktion - Fehlerintegral - Min - Max - Minimum - Maximum - Minimalwert - Maximum zweier Zahlen - Minimum zweier Zahlen - Gaußsche Fehlerfunktion - Natürliche Logarithmusfunktion - Mathematische Symbole - Mathematische Bedingungen - Darstellungsarten - Kommazahlen - Rechenzeichen - Term berechnen - Berechnen - Erklärung - Einführung - Beschreibung - Definition - Darstellung - Plotter - Plot - Darstellen - Plotten - Graph - Herleitung - Beweis - Terme addieren - Terme subtrahieren - Terme multiplizieren - Terme dividieren - Terme potenzieren - Größer als - Kleiner als - Berechnung - Addieren - Subtrahieren - Dividieren - Multiplizieren - Potenzieren - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Plus - Minus - Geteilt - Durch - Mal - Iff - Betragsungleichungen - Betragsstriche - Betragszeichen - Betragsquadrat - Verschachtelte Funktionen - Größer als-Zeichen - Kleiner als-Zeichen - Vergleichsoperatoren - Operationszeichen - Relationszeichen - Zeichen - Buchstaben - Erklärung - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Klammer - Operand - Operanden - Operator - Merkmale - Festkommadarstellung - Festkommazahl - Gleitkommadarstellung - Gleitkommazahl - Fließkommazahl - Festkommazahlen - Gleitkommazahlen - Fließkommazahlen - Exponentialschreibweise - Exponentialdarstellung - Dezimaldarstellung - Dezimalschreibweise - Exponentialformat - Format - Notation - Stellenzahl - Beziehungen - Umrechnen - Mathe - Mathematik - Mathematische Schreibweise - Schreibweise - Wissenschaftliche Schreibweise - Formel von Moivre - Arkusfunktionen - Arkuskosinus - Arkussinus - Arkustangens - Arkuskotangens - Arkussekans - Arkuskosekans - Umrechnung - Funktionseigenschaften |
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Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen
Nachfolgend aufgeführte Zeichen und Symbole sind in Unterprogrammen verwendbar, welche die Definition von Funktionstermen erfordern. Diese können sowohl zur Durchführung von Berechnungen wie auch zur Darstellung von zweidimensionalen und dreidimensionalen funktionalen Zusammenhängen mit Hilfe von Funktionen in expliziter Form, in Parameterdarstellung sowie in Polarform verwendet werden.
Grundrechenarten und Potenzierung - Mathematische Operatoren - Operanden
| Symbol / Operator | Erklärung / Bedeutung |
| + | Addition |
| - | Subtraktion |
| * | Multiplikation |
| / | Division |
| ^ | Potenzierung |
Trigonometrische Funktionen
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax-Beispiel |
| Sin() | Sinus | SIN(X) |
| Cos() | Cosinus | COS(X) |
| Tan() | Tangens | TAN(X) |
| Cot() | Cotangens | COT(X) |
| Arcsin() | Arcussinus (inverser Sinus) | ARCSIN(X) |
| Arccos() | Arcuscosinus (inverser Cosinus) | ARCCOS(X) |
| Arctan() | Arcustangens (inverser Tangens) | ARCTAN(X) |
| Arccot() | Arcuscotangens | ARCCOT(X) |
| Sinh() | Sinus hyperbolicus | SINH(X) |
| Cosh() | Cosinus hyperbolicus | COSH(X) |
| Tanh() | Tangens hyperbolicus | TANH(X) |
| Coth() | Cotangens hyperbolicus | COTH(X) |
| Arcsinh() | Arcussinus hyperbolicus | ARSINH(X) |
| Arccosh() | Arcuscosinus hyperbolicus | ARCOSH(X) |
| Arctanh() | Arcustangens hyperbolicus | ARTANH(X) |
| Arccoth() | Arcuscotangens hyperbolicus | ARCOTH(X) |
| Sec() | Secans | SEC(X) |
| Csc() | Cosecans | CSC(X) |
| Arcsec() | Arcussecans | ARCSEC(X) |
| Arccsc() | Arcuscosecans | ARCCSC(X) |
| Sech() | Secans hyperbolicus | SECH(X) |
| Csch() | Cosecans hyperbolicus | CSCH(X) |
| Arcsech() | Arcussecans hyperbolicus | ARCSECH(X) |
| Arccsch() | Arcuscosecans hyperbolicus | ARCCSCH(X) |
| Arctan2(y,x) | Arctan(y/x) | ARCTAN2(2;X) |
Hinweis: Sekans (sec), Cosekans (csc) und Cotangens (cot) bilden die Kehrwerte der Sinusfunktion, der Cosinusfunktion und der Tangensfunktion.
Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax-Beispiel |
| Ln() | Natürlicher Logarithmus (logarithmus naturalis) | LN(X) |
| Ld() | Binärer Logarithmus log2(x) | LD(X) |
| Log() Lg() | Dekadischer Logarithmus log10(x) | LOG(X) LG(X) |
| Logbase(n,x) | Dekadischer Logarithmus zur ganzzahligen Basis n log(n;x) mit n ≥ 2 | LOGBASE(3;X) |
| Exp() | Exponentialfunktion eX e: Eulersche Zahl | EXP(X) |
| Exp2() | Exponentialfunktion 2X | EXP2(X) |
| Exp10() | Exponentialfunktion 10X | EXP10(X) |
Sonstige Funktionen
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax-Beispiel |
| Abs() || | Absoluter Betrag | ABS(X) |X| |
| Sqrt() Wurzel() | Quadratwurzel - entspricht X(1/2) | SQRT(X) WURZEL(X) |
| Wurzeld() | Dritte Wurzel - entspricht X(1/3) | WURZELD(X) |
| Wurzelv() | Vierte Wurzel - entspricht X(1/4) | WURZELV(X) |
| Sqr() | Quadrat - entspricht X2 | SQR(X) |
| Int() | Integer-Funktion | INT(X) |
| Frac() | Gebrochenzahliger Anteil von X | FRAC(X) |
| Sgn() | Signum mit 1 für x > 0 0 für x = 0 -1 für x < 0 | SGN(X) |
| Rand() | Zufallsfunktion (Zufallsgenerator) (nur im Unterprogramm Mathematische Fkt. I verwendbar) | RAND(X) |
| Fac() | Fakultät n! einer ganzen Zahl n ≥ 0 (n! = 1·2·3... (n-1)·n) Fakultätsfunktion | FAC(3) |
| Lnfac() | Natürlicher Logarithmus der Fakultät ln(n!) einer ganzen Zahl n ≥ 0 | LNFAC(4) |
| Degtorad() | Konvertierung eines Winkels von Grad (DEG) in das Bogenmaß RAD (Rad = Grad·Pi/180) | DEGTORAD(X) |
| Radtodeg() | Konvertierung eines Winkels vom Bogenmaß (RAD) in das Gradmaß DEG (Grad = Rad·180/Pi) | RADTODEG(X) |
| Ceil() | Kleinster ganzzahliger Wert der ≥ x ist | CEIL(X) |
| Floor() | Größter ganzzahliger Wert der ≤ x ist | FLOOR(X) |
| Round() | Rundung eines Gleitkommawerts auf eine Ganzzahl | ROUND(X) |
| Min(a,b) | Minimum zweier Werte | MIN(X;2) |
| Max(a,b) | Maximum zweier Werte | MAX(3;X) |
| Clamp(x,a,b) | Wenn x < a, dann ist clamp(x,a,b) = a. Wenn x > b, dann ist clamp(x,a,b) = b. Wenn a ≤ x ≤ b, dann ist clamp(x,a,b) = x. | CLAMP(X;0;1) |
Konstanten
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax |
| e | Eulersche Zahl e | E |
| π | Kreiszahl π | PI |
| c1,c2,c3,c4,c5 | Frei definierbare Konstanten (Wertzuweisung erfolgt unter dem Menüpunkt Datei-Globale Optionen, Registerblatt Funktionskonstanten im Hauptformular des Programms). | C1,C2,C3, C4,C5 |
Sonstige Zeichen
| Symbol | Erklärung / Bedeutung |
| , oder . | Als Dezimaltrennzeichen sind Komma oder Punkt zu verwenden. |
| ( ) | Klammer |
| ; | Semikolon (nur innerhalb von Klammerzeichen) - Zur Trennung von Werten/Variablen bei deren Übergabe an Funktionen welche mehrere Parameter/Variablen benötigen. |
Verwendung von IF und IFF - Anweisungen und logischen Verknüpfungen - Boolesche Variablen
Das Programm erlaubt bei der Funktionsdefinition die zusätzliche Verwendung von Bedingungsanweisungen und logischen UND-Operationen (Boolesche Variablen).
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax-Beispiel |
| IF | Wenn - Dann - Anweisung | IF (X<2;SIN(X)) |
| IFF | Wenn - Dann - Sonst - Anweisung | IFF (X>=1; SIN(X); COS(X)) |
Operatoren und logische Verknüpfungen bei Verwendung von IF oder IFF-Anweisungen:
| Symbol | Erklärung / Bedeutung |
| > | größer |
| >= | größer gleich |
| < | kleiner |
| <= | kleiner gleich |
| = | gleich |
| <> | nicht gleich |
| & | UND-Verknüpfung |
Eine IF-Anweisung führt eine Wenn-Dann-Anweisung (if then) aus. Wird die gestellte Bedingung erfüllt, so wird die Anweisung abgearbeitet, ansonsten wird nichts ausgegeben, bzw. dargestellt.
Eine IFF-Anweisung führt eine Wenn-Dann-Sonst-Anweisung (if then else) aus. Wird die gestellte Bedingung erfüllt, so wird die Dann-Anweisung abgearbeitet, andernfalls wird die Sonst-Anweisung abgearbeitet.
Deklarationsformen:
IF(Bedingung;Dann-Anweisung)
IFF(Bedingung;Dann-Anweisung;Sonst-Anweisung)
Als Separatoren zwischen Bedingung und Anweisung(en) werden Semikola verwendet.
Bedingungsanweisungen (und somit auch Operatoren) werden vor dem ersten Semikolon innerhalb des IF- bzw. IFF-Befehls definiert. Dann-Anweisungen werden zwischen dem ersten und dem zweiten Semikolon, und Sonst-Anweisungen (bei IFF-Bedingung) nach dem zweiten Semikolon zugewiesen.
Bedingungsanweisungen müssen vor dem ersten Semikolon stets Vergleichsoperatoren (<,>,=,>=,<=,<>) und/oder das Verknüpfungssymbol & beinhalten. Vergleichsoperatoren und Verknüpfungssymbole müssen sich logischerweise stets vor dem ersten Semikolon (bei der Bedingungsdefinition) und nicht dahinter befinden.
Hinweise:
Das Programm prüft die verwendete Deklaration (Syntax) vor Durchführung einer Berechnung bzw. Ausgabe einer grafischen Darstellung in diesem Fall nur bedingt. Es gilt daher auf die korrekte Benutzung dieser Anweisungen selbst zu achten. Die o.a. Vergleichsoperatoren (<,>,=,>=,<=,<>) sowie das Symbol & (AND) für die logische UND-Verknüpfung sind stets nur im ersten Teil (vor dem ersten Semikolon - also zur Definition der Bedingungsanweisung) innerhalb einer IF- oder IFF-Anweisung zu verwenden. Wird dies nicht befolgt, so erhalten Sie eine Fehlermeldung oder es erfolgt eine mit Sicherheit nicht ohne Weiteres nachvollziehbare Darstellung oder numerische Auswertung. Außerhalb der Klammerung von IF- oder IFF-Anweisungen ist eine Verwendung der o.a. Zeichensymbole grundsätzlich zu unterlassen!
Mit Hilfe der zuvor aufgeführten Operatoren können auch Betragsungleichungen definiert werden.
| Symbol/Argument /Variable | Erklärung / Bedeutung |
| X,Y | Standardvariablen |
| K | Variable für den Funktionsparameter K von Funktionen in Parameterform, Parameter zur Definition von Zahlenfolgen. |
| W | Variable für den Winkel φ bei Funktionen in Polarform. |
| P | Reeller Funktionsparameter, der u.a. zur Sachverhaltsanalyse und zur Durchführung von Animationen benötigt wird. Hinweise zum Einsatz von Parametern dieser Art finden Sie unter Verwendung von Funktionsparametern. |
| U,V | ● Variablen zur Berechnung und Darstellung von Flächen in Parameterform, Funktionen in Zylinderkoordinaten und Funktionen in Kugelkoordinaten. (U und V sind hierbei die Variablen für Winkel bzw. Höhen) ● Scharparameter bei der Darstellung von Kurvenscharen ● Parameter zur Durchführung von Funktionsparameteranalysen |
| Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6, Y7, Y8 | Variablen für Ableitungen in Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssystemen. |
Wichtige Hinweise
Die Definition einer Funktion der Form √X (Wurzel) kann auf eine der nachfolgend aufgeführten Arten durchgeführt werden:
-
X^(0,5)
SQRT(X)
X^(1/2)
WURZEL(X)
-
Als Dezimaltrennzeichen werden Komma oder Punkt akzeptiert
-
Die Berechnung der Werte trigonometrischer Funktionen erfolgt in allen Unterprogrammen stets im Bogenmaß!
-
Die Verwendung der Zeichenfolge E^X bewirkt dasselbe wie die Nutzung der Zeichenfolge EXP(X)
-
Bei Funktionen die einen ganzzahligen Parameterwert n verlangen, wie z.B. FAC(n), LNFAC(n), darf der entsprechende ganzzahlige Wert n nicht durch die Ausführung einer Operation zugewiesen werden. D.h., um der Funktion FAC beispielsweise den ganzzahligen Wert 6 zuzuweisen, ist alleine die Ziffer 6 zwischen den Klammern einzubinden -> FAC(6). Wird die Anweisung FAC(2*3) definiert, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da der Operator * verwendet wurde. Auch die Übergabe eines Gleitkommawerts, oder des Symbols P (zur Durchführung von Simulationen) wird für Funktionsparameter und Konstanten, die ganzzahlige Werte erforderlich machen, nicht akzeptiert.
Häufige Ursachen fehlerhafter Funktionsdeklaration
- Nicht jede geöffnete Klammer wurde wieder geschlossen.
Die Anzahl sich öffnender Klammerzeichen in einem Funktionsterm, muss der Anzahl schließender Klammerzeichen entsprechen.
-
Fehlerhafte Klammerung der Symbolzeichen von Standardfunktionen.
Beispiel:
Falsch: COS X Richtig: COS(X)
-
Multiplikationszeichen wurden nicht verwendet.
Beispiel:
Falsch: 2X Richtig: 2*X
Falsch: SIN(4X) Richtig: SIN(4*X)
-
Fehlerhafte Verwendung von Potenzzeichen.
Beispiel:
Falsch X2 Richtig: X^2
-
Fehlerhafte Klammerung von Exponenten.
Beispiel:
Soll der Term 3√X² definiert werden, so ist einzugeben: X^(2/3). Falsch hingegen wäre die Eingabe des Terms X^2/3, denn dieser wird interpretiert mit 1/3·X².
Anmerkungen
-
Im Unterprogramm Mathematische Funktionen I steht eine Beispiel-Formelbibliothek zur Verfügung, die es ermöglicht sich die geltenden Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen verständlich zu machen. Aufgerufen werden kann diese unter dem Menüpunkt Beispiele I - Beispiel - Funktionsbibliothek laden.
-
Möchten Sie Konstanten benutzen, so weisen Sie den Konstanten C1-C5 die entsprechenden Werte unter dem Menüpunkt Datei - Globale Optionen auf dem Hauptformular des Programms zu. Voreingestellt sind für alle Konstanten die Werte 0 (Näheres hierzu siehe Globale Optionen - Registerblatt Konstanten).
Enthält die Deklaration eines Funktionsterms Leerzeichen, so werden diese bei Aufruf eines Befehls automatisch eliminiert.
Elementare Funktionen
Unter elementaren Funktionen werden im Allgemeinen mathematische Funktionen verstanden, welche sich aus grundlegenden Typen von Funktionen durch Grundrechenarten sowie Verkettungen bilden lassen. Hierzu zählen u.a. Logarithmusfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen und Polynomfunktionen.
Kurzbeschreibung einiger Funktionen und Fachbegriffe
Abrundungsfunktion (Floor-Funktion): Die Abrundungsfunktion ordnet jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere (floor) ganze Zahl zu. Diese Funktion wird auch als Gaußklammer bzw. Gauß Klammer bezeichnet.
Aufrundungsfunktion (Ceil-Funktion): Die Aufrundungsfunktion ordnet jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht kleinere (ceil) ganze Zahl zu.
Funktionsterm: Als Funktionsterme werden Terme bezeichnet, mit Hilfe derer zu einem gegebenen Wert einer Variable der Wert einer Funktion (den Funktionswert) berechnet wird. Zum Beispiel wird mit Hilfe eines Funktionsterms der Variable x einer Funktion f(x) der ihr zugehörige Funktionswert zugewiesen.
Hyperbelfunktion (hyperbolische Funktionen): Hyperbelfunktionen sind die korrespondierenden Funktionen der trigonometrischen Funktionen die nicht am Einheitskreis x² + y² = 1 sondern an der Einheitsparabel x² - y² = 1 entstehen. Funktionen dieser Art werden auch als hyperbolische Funktionen bezeichnet. Tangens hyperbolicus oder hyperbolischer Tangens (tanh) und Kotangens hyperbolicus (cotanh) sind Hyperbelfunktionen. Auch bei Sinus hyperbolicus bzw. hyperbolischer Sinus (sinh) und Cosinus hyperbolicus (cosh) handelt es sich um Funktionen dieser Art.
Areafunktionen: Als Areafunktionen werden die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen bezeichnet.
Logarithmusfunktion: Als Logarithmusfunktionen werden die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen bezeichnet. Beispielsweise stellt die Logarithmusfunktion y = logb(x) die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = bx dar.
Wurzelfunktion: Als Wurzelfunktionen werden Potenzfunktionen bezeichnet, deren Exponent zwischen den Werten 0 und 1 liegt.
Operatoren: Als Operator wird eine mathematische Vorschrift bezeichnet, mit Hilfe derer aus mathematischen Objekten neue Objekte gebildet werden können.
Operationen: Mit Hilfe der mathematischen Operatoren werden elementare arithmetische Operationen wie Addition. Subtraktion, Multiplikation und Division ausgeführt.
Mathematische Zeichen (mathematische Symbole): Als mathematische Zeichen oder mathematische Symbole werden die Symbole bezeichnet, die bei mathematischer Notation innerhalb von Formeln verwendet werden.
Vorzeichen (Signum): Als Vorzeichen oder Signum wird ein Zeichen benannt, das einer reellen Zahl vorangestellt wird, um sie als positiv oder negativ zu definieren.
Vorzeichenfunktion (Signumfunktion): Als Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion) wird eine mathematische Funktion bezeichnet, die einer reellen oder komplexen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.
Arkusfunktionen: Als Arkusfunktionen werden die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen bezeichnet. Sie werden eingesetzt, um aus einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugrundeliegenden Winkelwert zu berechnen. Bei Arcussinus (arcsin) und Arcuscosinus (arccos) handelt es sich um die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus. Arcustangens (arctan) und Arcuscotangens (arccotan) sind die Umkehrfunktionen von Tangens und Cotangens.
Sekans (Cosecans): Die Funktionswerte von Sekans (sec) und Cosecans (csc) entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten im Einheitskreis. Der Sekans ist der Kehrwert der Kosinusfunktion. Er bildet im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete.
Inverser Tangens: Als inverser Tangens wird der Arcustangens (arctan) bezeichnet.
Inverser Sinus: Als inverser Sinus wird der Arcussinus (arcsin) bezeichnet.
Inverser Cosinus: Als inverser Cosinus wird der Arcuscosinus (arccos) bezeichnet.
Kehrwertfunktion: Die Kehrwertfunktion ist die durch f(x) = 1/x beschriebene Funktion.
Fakultätsfunktion: Die Fakultätsfunktion hat die Gestalt f(n) = n!. Sie besitzt lediglich für die Zahl 0 sowie alle natürlichen Zahlen Gültigkeit.
Fehlerfunktion: (Gaußsche Fehlerfunktion oder Error function): Als Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion wird die durch das Integral
definierte Funktion bezeichnet. Sie ist eine Sigmoidfunktion, die in der Statistik Anwendung findet und eng mit dem Fehlerintegral zusammenhängt.
Degtorad: Die Funktion Degtorad wandelt einen in Grad angegebenen Winkel in das Bogenmaß um.
RadtoDeg: Die Funktion RadtoDeg wandelt einen im Bogenmaß angegebenen Winkel in das Gradmaß um.
Eulersche Gammafunktion (Gammafunktion): Die Gammafunktion ist eine der bedeutendsten Funktionen der Mathematik. Sie wurde von Leonhard Euler angegeben und stellt eine Erweiterung der Fakultätsfunktion dar. Sie ist eine intranszendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Γ(n) = (n-1)!.
Sprungfunktion: Als Sprungfunktion (Heavyside-Funktion, Stufenfunktion, Treppenfunktion) wird die Funktion bezeichnet, die auf den negativen Zahlen den Wert 0 und auf den positiven Zahlen den Wert 1 annimmt.
Fresnel-Integrale: Als Fresnel-Integrale werden in der Analysis zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind. Sie spielen in der Theorie der Lichtbeugung eine maßgebliche Rolle.
Absolutwert: Der Absolutwert entspricht dem Abstand einer Zahl zur Zahl Null.
Min Funktion: Gibt das Minimum (den Minimalwert) zweier Werte wieder.
Max Funktion: Gibt das Maximum (den Maximalwert) zweier Werte wieder.
Absoluter Betrag (Absolutbetrag oder absoluter Wert): Geometrisch betrachtet handelt es sich beim absoluten Betrag einer reellen Zahl x um den Wert, den eine Strecke zwischen x und der Zahl Null auf dem Zahlenstrahl besitzt.
Operationszeichen: Operationszeichen sind Zeichen, die zur Verknüpfung mathematischer Objekte verwendet werden. Hierzu zählen beispielsweise die Zeichen +, -, / und *.
Relationszeichen: Relationszeichen sind Zeichen, die die Beziehung zwischen mathematischen Objekten kennzeichnen. Hierzu zählen beispielsweise die Zeichen <, >, und =.
Der Defintionsbereich (Definitionsmenge) einer Abbildung oder einer Funktion wird durch eine Menge aller Elemente (beispielsweise Zahlen) bestimmt, welche von dieser Funktion abgebildet werden. Auch zwei Funktionen die in ihrer Abbildungsvorschrift übereinstimmen, jedoch einen unterschiedlichen Definitionsbereich besitzen, sind voneinander verschieden.
Unter Wertemenge (Wertebereich) wird die Menge aller möglichen Werte verstanden, welche die entsprechende Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs annehmen kann.
Festkommadarstellung - Gleitkommadarstellung - Festkommazahlen - Gleitkommazahlen - Fließkommazahlen
Die Darstellung eines Zahlenwerts in der Form 46807,3 (Festkommazahl) wird als Festkommadarstellung bezeichnet, da die Position des Dezimaltrennzeichens hierbei stets fest vergegeben ist.
Wird diese Zahl in der Form 46,8073·103 (Gleitkommazahl oder Fließkommazahl) ausgegeben, so wird von einer Gleitkommadarstellung gesprochen. Hierbei ist die Position des Trennzeichens (Kommas) abhängig von der entsprechenden Zehnerpotenz, die dieser Zahl zugeordnet wird. Diese Darstellungsarten verwenden für die entsprechenden Zehnerpotenzen das Zeichen E bzw. e. Somit lautet die Darstellung der Zahl 0,00743 bzw. 7,43·10-3 in diesem Fall 7,43·E-03.
Beide dieser Darstellungsformen werden im Programm bei der Ausgabe numerischer Ergebnisse verwendet.
Exponentialschreibweise - Exponentialdarstellung - Dezimaldarstellung - Dezimalschreibweise - Wissenschaftliche Schreibweise - Format
Zahlen, welche innerhalb eines bestimmten Wertebereichs liegen werden in Dezimalschreibweise (bzw. Dezimaldarstellung) ausgegeben. Sehr große oder sehr kleine Zahlen werden vom Programm in der Exponentialschreibweise (wissenschaftliche Schreibweise) bzw. Exponentialdarstellung dargestellt. Beispiele hierfür sind die Zahlen 6,97·10-7 und 4,66·108.
Die Basiszahlen 6,97 bzw. 4,66 werden als (rationale) Mantisse bezeichnet. Die Zahlen 10-7 sowie 108 werden als Exponenten bezeichnet. Das Dezimaltennzeichen der Mantisse wird um exakt diese Anzahl an Stellen verschoben gedacht, die im (ganzzahligen) Exponenten angegeben sind. Bei einem positiven Exponenten wird sie nach rechts verschoben, bei einem negativen Exponenten nach links.
Beispiele:
4,21·105 = 421 000 (Verschiebung des Dezimaltrennzeichens um 5 Stellen nach rechts)
6,92·10−6 = 0,00000692 (Verschiebung des Dezimaltrennzeichens um 6 Stellen nach links)
Variable - Abhängige Variable - Unabhängige Variable
Eine Variable wird in der Mathematik als abhängig bezeichnet, wenn deren Wert vom Effekt einer oder mehrerer anderer Variablen (Antwortvariable(n)) abhängt. Eine Variable, welche eine abhängige Variable formt wird als unabhängig bezeichnet. Häufig wird hierbei einer unabhängigen Variable x exakt ein Element einer anderen Menge (einem Funktionswert) eine abhängige Variable, y zugeordnet. Als Beispiel sei hierfür eine Funktion y = f(x) genannt. Einer abhängigen Variable können auch mehrere unabhängige Variablen zugeordnet werden. Beispielsweise werden einer Variable z = f(x,y) die beiden unabhängigen Variablen x und y zugeordnet.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Screenshots einiger mathematischer Grundfunktionen
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = sin(x) | Funktion f(x) = cos(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = tan(x) | Funktion f(x) = cot(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = arcsin(x) | Funktion f(x) = arccos(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = arctan(x) | Funktion f(x) = arccot(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = sinh(x) | Funktion f(x) = cosh(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = tanh(x) | Funktion f(x) = coth(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = arsinh(x) | Funktion f(x) = arcosh(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = artanh(x) | Funktion f(x) = arcoth(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = sec(x) | Funktion f(x) = csc(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = arcsec(x) | Funktion f(x) = arccsc(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = sech(x) | Funktion f(x) = csch(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = arcsech(x) | Funktion f(x) = arccsch(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) =arctan2(2,x) | Funktion f(x) = ln(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = ld(x) | Funktion f(x) = log(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = logbase(3;x) | Funktion f(x) = exp(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = exp2(x) | Funktion f(x) = exp10(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = abs(x) | Funktion f(x) = sqrt(x)
Grafische Darstellung | Funktion f(x) = sqr(x) | Funktion f(x) = int(x)
Screenshots von Wertetabellen
Eigenschaften trigonometrischer Funktionen - Funktionseigenschaften - Übersicht
In den nachfolgend gezeigten Tabellen sind wesentliche Eigenschaften wichtiger trigonometrischer Funktionen aufgeführt.
Als Arkusfunktionen werden Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen bezeichnet. Diese sind auf bestimmte Intervalle beschränkt. Aereafunktionen sind streng monoton wachsende und umkehrbare Funktionen. Sie sind Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Hyperbelfunktionen sind nicht umkehrbar. Sie lassen sich unter Verwendung der Exponentialfunktionen ex und e-x beschreiben.
Eigenschaften von Sinusfunktionen und Cosinusfunktionen:
| y = sin(x) | y = cos(x) | |
| Definitionsbereich | -∞ < x < ∞ | -∞ < x < ∞ |
| Wertebereich / Wertemenge | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Periode | 2π | 2π |
| Symmetrie | ungerade | gerade |
| Nullstellen | xk = k·π | xk = π/2 + k·π |
| Relative Maxima | xk = π/2 + k·2π | xk = k·2π |
| Relative Minima | xk = 3π/2 + k·2π | xk = π + k·2π |
Eigenschaften von Tangensfunktionen und Cotangensfunktionen:
| y = tan(x) | y = cot(x) | |
| Definitionsbereich | x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = π/2 + k·π | x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = k·π |
| Wertebereich / Wertemenge | -∞ < x < ∞ | -∞ < x < ∞ |
| Periode | π | π |
| Symmetrie | ungerade | ungerade |
| Nullstellen | xk = k·π | xk = π/2 + k·π |
| Pole | xk = π/2 + k·π | xk = k·π |
| Vertikale Asymptoten | x = π/2 + k·π | x = k·π |
Eigenschaften von Arkussinusfunktionen und Arkuscosinusfunktionen:
| y = arcsin(x) | y = arccos(x) | |
| Definitionsbereich | -1 ≤ x ≤ 1 | -1 ≤ x ≤ 1 |
| Wertebereich / Wertemenge | -π/2 ≤ y ≤ π/2 | 0 ≤ y ≤ π |
| Periode | π | π |
| Symmetrie | ungerade | - |
| Nullstellen | x1 = 0 | x1 = 1 |
| Monotonie | streng monoton wachsend | streng monoton fallend |
Eigenschaften von Arkustangensfunktionen und Arkuscotangensfunktionen:
| y = arctan(x) | y = arccot(x) | |
| Definitionsbereich | -∞ < x < ∞ | -∞ < x < ∞ |
| Wertebereich / Wertemenge | -π/2 ≤ y ≤ π/2 | 0 ≤ y ≤ π |
| Symmetrie | ungerade | - |
| Asymptoten | y = ± π | y = 0; y = π |
| Monotonie | streng monoton wachsend | streng monoton fallend |
Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen sinh(x) und cosh(x):
| y = sinh(x) | y = cosh(x) | |
| Definitionsbereich | -∞ < x < ∞ | -∞ < x < ∞ |
| Wertebereich / Wertemenge | -∞ < y < ∞ | 1 ≤ y < ∞ |
| Symmetrie | ungerade | gerade |
| Nullstellen | x1 = 0 | - |
| Extremwerte | - | x1 = 0 (Minimum) |
| Monotonie | streng monoton wachsend | - |
Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen tanh(x) und coth(x):
| y = tanh(x) | y = coth(x) | |
| Definitionsbereich | -∞ < x < ∞ | |x| > 0 |
| Wertebereich / Wertemenge | -1 < y < 1 | |y| > 1 |
| Symmetrie | ungerade | ungerade |
| Pole | - | x1 = 0 |
| Asymptoten | y = ±1 | x = 0 ; y = ±1 |
| Monotonie | streng monoton wachsend | - |
Eigenschaften der Areafunktionen arsinh(x) und arcosh(x):
| y = arsinh(x) | y = arcosh(x) | |
| Definitionsbereich | -∞ < x < ∞ | x ≥ 1 |
| Wertebereich / Wertemenge | -∞ < y < ∞ | y ≥ 0 |
| Symmetrie | ungerade | - |
| Nullstellen | x1 = 0 | x1 = 1 |
| Monotonie | streng monoton wachsend | streng monoton wachsend |
Eigenschaften der Areafunktionen artanh(x) und arcoth(x):
| y = artanh(x) | y = arcoth(x) | |
| Definitionsbereich | -1 < x < 1 | |x| ≥ 1 |
| Wertebereich / Wertemenge | -∞ < y < ∞ | |y| ≥ 0 |
| Symmetrie | ungerade | ungerade |
| Nullstellen | x1/2 = ±1 | - |
| Monotonie | streng monoton wachsend | - |
| Asymptoten | x = ±1 | x = ±1 ; y = 0 |
Beziehungen zwischen Arkusfunktionen
Im Weiteren sind einige wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen aufgeführt.
arctan x + arccos x = π/2
arcsin x = arctan (x/√1 - x²)
arccos x = arccot (x/√1 - x²)
arctan x + arccot x = π/2
arctan x = arcsin (x/√1 + x²)
arccot x = arccos (x/√1 + x²)
arccot x + arctan (1/x) für x > 0
arccot x + arctan (1/x) + π für x < 0
sin (arccos x) = √1 - x²
cos (arcsin x) = √1 - x²
tan (arcsin x) = x/√1 - x²
sin (arctan x) = x/√1 + x²
cos(arctan x) = x/√1 + x²
tan (arccos x) = √1 - x²/x
arcsin (-x) = -arcsin (x)
arctan (-x) = -arctan (x)
arccos (-x) = π - arccos (x)
arccot (-x) = π - arccot (x)
arccot x = π/2 - arctan x
Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen
In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus aufgeführt.
| sinh x | cosh x | |
| sinh x | - | ± √cosh² x - 1 |
| cosh x | √sinh² x + 1 | - |
| tanh x | sinh(x)/√sinh² x + 1 | ± √cosh² x - 1/cosh(x) |
| coth x | √sinh² x + 1/sinh(x) | ± cosh(x)/√cosh² x - 1 |
In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus aufgeführt.
| tanh x | coth x | |
| sinh x | tanh(x)/√1- tanh² x | ± 1/√coth² x - 1 |
| cosh x | 1/√1- tanh² x | coth(x)/√coth² x -1 |
| tanh x | - | 1/coth(x) |
| coth x | 1/tanh(x) | - |
Zusammenhänge zwischen Hyperbelfunktionen
Im Weiteren sind einige elemantare Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen aufgeführt.
cosh² x - sinh² x = 1
tanh x = sinh(x) / cosh(x)
coth x = cosh(x) / sinh(x) = 1/tanh(x)
Hyperbelfunktionen - Definition - Additionstheoreme - Doppelte Winkel - Potenzen - Summen - Differenzen - Produkte - Formeln
Definition von Hyperbelfunktionen:
sinh(x) = (ex - e-x)/2
cosh(x) = (ex + e-x)/2
tanh(x) = (ex - e-x)/(ex + e-x)
coth(x) = (ex + e-x)/(ex - e-x)
Additionstheoreme hyperbolischer Funktionen:
sinh(x1 ± x2) = sinh x1· cosh x2 ± cosh x1· sinh x2
cosh(x1 ± x2) = cosh x1· cosh x2 ± sinh x1· sinh x2
tanh(x1 ± x2) = (tanh x1 ± tanh x2)/(1 ± tanh x1 · tanh x2)
coth(x1 ± x2) = (1 ± coth x1 · coth x2)/(coth x1 ± coth x2)
Formeln für doppelte Argumente von hyperbolischen Funktionen:
sinh(2x) = 2 · sinh(x) · cosh(x)
sinh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2 · cosh²(x) - 1
tanh(2x) = 2 · tanh(x) / (1 + tanh²(x))
Formeln für dreifache Argumente von hyperbolischen Funktionen:
sinh(2x) = 3 · sinh(x) + 4 · sinh3(x)
cosh(3x) = 4 · cosh3(x) - 3 · cosh(x)
tanh(3x) = ( 3 · tanh(x) + 3 · tanh3(x) ) / ( 1+ 3 · tanh²(x) )
Formeln für Potenzen von hyperbolischen Funktionen:
sinh²(x) = 1/2 [cosh(2x) - 1]
sinh³(x) = 1/4 [sinh(3x) - 3 · sinh(x)]
sinh4(x) = 1/8 [cosh(4x) - 4 · cosh(2x) +3]
cosh²(x) = 1/2 [cosh(2x) + 1]
cosh³(x) = 1/4 [cosh(3x) + 3 · cosh(x)]
cosh4(x) = 1/8 [cosh(4x) + 4 · cosh(2x) +3]
Formeln für Summen und Differenzen von hyperbolischen Funktionen:
sinh(x1) + sinh(x2) = 2 · sinh((x1 + x2)/2) · cosh((x1 - x2)/2)
sinh(x1) - sinh(x2) = 2 · cos((x1 + x2)/2) · sinh((x1 - x2)/2)
cosh(x1) + cosh(x2) = 2 · cosh((x1 + x2)/2) · cosh((x1 - x2)/2)
cosh(x1) - cosh(x2) = 2 · sinh((x1 + x2)/2) · sinh((x1 - x2)/2)
tanh(x1) ± tanh(x2) = sinh(x1 ± x2) / (cosh(x1) · cosh(x2))
Formeln für Produkte von hyperbolischen Funktionen:
sinh(x1) · sinh(x2) = 1/2 · [cosh(x1 + x2) - cosh(x1 - x2)]
cosh(x1) · cosh(x2) = 1/2 · [cosh(x1 + x2) + cosh(x1 - x2)]
sinh(x1) · cosh(x2) = 1/2 · [sinh(x1 + x2) + sinh(x1 - x2)]
tanh(x1) · tanh(x2) = (tanh(x1) + tanh(x2)) / (coth(x1) + coth(x2))
Satz von Moivre:
(cosh(x) ± sinh(x))n = cosh(nx) ± sinh(nx) mit n = 2, 3, 4 ...
Umrechnungen zwischen den Areafunktionen
In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Areafunktionen Area sinus hyperbolicus und Area cosinus hyperbolicus aufgeführt.
| arsinh x | arcosh x | |
| arsinh x | - | ± arcosh√x² + 1 |
| arcosh x | arsinh√x² - 1 | - |
| artanh x | arsinh(x/√1 - x²) | ± arcosh(1/√1 - x²) |
| arcoth x | arsinh(1/√x² - 1) | ± arcosh(x/√x² - 1) |
In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Areafunktionen Area tangens hyperbolicus und Area cotangens hyperbolicus aufgeführt.
| artanh x | arcoth x | |
| arsinh x | artanh(x/√x² + 1) | arcoth(√x² + 1/x) |
| arcosh x | artanh(√x² - 1/x) | arcoth(x/√x² - 1) |
| artanh x | - | arcoth(1/x) |
| arcoth x | artanh(1/x) | - |
Areafunktionen - Definition - Additionstheoreme
Definition von Areafunktionen:
arsinh(x) = ln (x + √x² + 1)
arcosh(x) = ln (x + √x² - 1)
artanh(x) = 1/2 · ln ((1 + x)/(1 - x))
arcoth(x) = 1/2 · ln ((x + 1)/(x - 1))
Additionstheoreme von Areafunktionen:
arsinh(x1) ± arsinh(x2) = arsinh [x1√1 + x2² ± x2√1 + x1²]
arcosh(x1) ± arcosh(x2) = arcosh [x1x2 ± √(x1² - 1)(x2² - 1)]
artanh(x1) ± artanh(x2) = artanh ((x1 ± x2)/(1 ± x1x2))
arcoth(x1) ± arcoth(x2) = arcoth ((1 ± x1x2)/(x1 ± x2))
Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktionen
Nachfolgend aufgeführt sind einige wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktionen:
1. e-Funktion
y = ex
Defintionsbereich: -∞ < x < ∞
Wertebereich: 0 < y < ∞
e: Eulersche Zahl
2. Allgemeine Exponentialfunktion
y = ax
Basis: a > 0 ; a ≠ 1
Defintionsbereich: -∞ < x < ∞
Wertebereich: 0 < y < ∞
Asymptote: y = 0
Eine Funktion y = ax ist ebenfalls als e-Funktion darstellbar:
y = ax = eln(a)x
Definition und Eigenschaften der Logarithmusfunktionen
Im Weiteren aufgeführt sind einige wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktionen:
1. Allgemeine Logarithmusfunktion
y = logax
Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -∞ < y < ∞
Asymptote: x = 0
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)
Monotonie:
0 < a < 1: streng monoton fallend
a > 1: streng monoton wachsend
2. Natürliche Logarithmusfunktion
y = ln x
Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -∞ < y < ∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)
3. Zehnerlogarithmusfunktion
y = log10x = lg x
Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -∞ < y < ∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)
4. Zweierlogarithmusfunktion
y = log2x = ld x
Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -∞ < y < ∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)
Spezielle Funktionen
Im Folgenden finden Sie die Liste spezieller mathematischer Funktionen, die verwendet werden können.
Exponential-Integrale und verwandte Integrale
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax-Beispiel |
| Cí(x) | Cosinus-Integral | CI(X) |
| Cin(x) | Vollständiges Cosinus-Integral | CIN(X) |
| Ei(x) | Exponential-Integral Ei | EI(X) |
| Ein(x) | Vollst. Exponential-Integral | EIN(X) |
| En(n;x) | Exponential-Integral En | EN(N;X) |
| Li(x) | Logarithmisches Integral | LI(X) |
| Si(x) | Sinus-Integral | SI(X) |
Error-Funktion und verwandte Funktionen
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax-Beispiel |
| Erf(x) | Error-Funktion | ERF(X) |
| Fresnelcos(x) | Fresnel-Cosinus | FRESNELCOS(X) |
| Fresnelsin(x) | Fresnel-Sinus | FRESNELSIN(X) |
Gamma-Funktion und verwandte Funktionen
| Symbol | Erklärung / Bedeutung | Syntax-Beispiel |
| Gamma(x) | Gamma-Funktion | GAMMA(X) |
| Lngamma(x)
Lngammap(x) | Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion ln(|gamma(x)|) Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion ln(|gamma(x+1)|) | LNGAMMA(X)
LNGAMMAP(X) |
| Pentagamma(x) | Pentagamma-Funktion | PENTA GAMMA(X) |
| Psi(x) | Psi-(Digamma)-Funktion | PSI(X) |
Einige dieser zuvor aufgeführten Funktionen benötigen mehrere Parameter bzw. Variablen. Einzelne Parameter/Variablen sind durch Semikola voneinander zu trennen. Im Unterprogramm Mathematische Funktionen I können Sie sich durch Aufrufe von Beispielen aus den entsprechenden Menüpunkten ein Bild darüber verschaffen, welche Syntaxregeln zu beachten sind und sich die erforderliche Parameterübergabe zur Verwendung einzelner Sonderfunktionen verdeutlichen. Es gilt auch die Art der zu übergebenden Werte der entsprechenden Funktionen zu beachten. Benötigt eine Funktion beispielsweise für einen Parameter n einen ganzzahligen Wert und es wird hierfür eine Gleitkommazahl eingegeben, so gibt das Programm lediglich die Meldung aus, dass der Funktionsterm nicht korrekt definiert wurde und keinen detaillierten, auf diesen Fehler aufmerksam machenden, Hinweis. Selbstverständlich kann für ganzzahlige Parameterwerte auch kein Parameter P übergeben werden, da dieser in der Regel Gleitkommawerte annimmt.
Beispiel:
Es gilt, eine Funktion des Typs EN(2;X) (Exponential-Integral) darstellen zu lassen. Wird der Term EN(2,7;X) bzw. EN(2.7;X) eingegeben, so gibt das Programm eine Fehlermeldung aus, da Parameter N ein ganzzahliger Wert sein muss. Wird der Term EN(3,X) definiert, so erfolgt ebenfalls eine Fehlermeldung, da der Separator Komma, anstelle des erforderlichen Semikolons verwendet wurde. Eine korrekte Definition würde z.B. lauten: EN(3;X).
Beschreibung spezieller Funktionen
Exponential-Integrale und verwandte Integrale
Cosinus-Integral Ci
Syntax:
CI(x)
Definitionsbeispiele:
CI(X)
CI(X/2+3)-2
Vollständiges Cosinus-Integral Cin
Syntax:
CIN(x)
Definitionsbeispiele:
CIN(X)
1-CIN(X/2-3)
Exponential-Integral Ei
Syntax:
EI(x)
Definitionsbeispiele:
EI(X)
2*EI(X+1)-X
Vollständiges Exponential-Integral Ein
Syntax:
EIN(x)
Definitionsbeispiele:
EIN(X)
EIN(X-1)/5
Exponential-Integral En
Syntax:
EN(n;x)
mit n ≥ 0
Definitionsbeispiele:
EN(2;X)
3*EN(2;X/4)
Logarithmisches Integral Li
Syntax:
LI(x)
Definitionsbeispiele:
LI(X)
LI(2*X)/2
Sinus-Integral Si
Syntax:
SI(x)
Definitionsbeispiele:
SI(X)
SI(X+1)/2
Error-Funktion und verwandte Funktionen
Error-Funktion (Gaußsche Fehlerfunktion)
Syntax:
ERF(x)
Definitionsbeispiele:
ERF(X)
3*ERF(2*X)-1
Fresnel-Cosinus
Syntax:
FRESNELCOS(x)
Definitionsbeispiele:
FRESNELCOS(X)
1-FRESNELCOS(X/2)
Fresnel-Sinus
Syntax:
FRESNELSIN(x)
Definitionsbeispiele:
FRESNELSIN(X)
3*FRESNELSIN(X/3-4)
Gamma-Funktion und verwandte Funktionen
Gamma-Funktion
Syntax:
GAMMA(x)
Definitionsbeispiele:
GAMMA(X)
3*GAMMA(X/2-2)
Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion
für x ≠ 0,-1,-2,-3....
Syntax:
LNGAMMA(x)
Definitionsbeispiele:
LNGAMMA(X)
LNGAMMA(X/3)-2
Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion (Sonderform)
für x+1 ≠ 0,-1,-2,-3....
Syntax:
LNGAMMAP(x)
Definitionsbeispiele:
LNGAMMAP(X)
2*LNGAMMAP(1/3-X)+2
Pentagamma-Funktion
für x ≠; 0,-1,-2,-3....
Syntax:
PENTAGAMMA(x)
Definitionsbeispiele:
PENTAGAMMA(X)
2*PENTAGAMMA(X/3+2)
Psi-(Digamma)-Funktion
für x ≠ 0,-1,-2,-3....
Syntax:
PSI(x)
Definitionsbeispiele:
PSI(X)
2*PSI(-X+2)
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.
Wikipedia - Integralkosinus
Wikipedia - Integralexponentialfunktion
Wikipedia - Exponential-Integral
Wikipedia - Integrallogarithmus
Wikipedia - Sinc-Funktion
Wikipedia - Fehlerfunktion
Wikipedia - Fresnel-Integral
Wikipedia - Gammafunktion
Wikipedia - Digammafunktion
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Gleichungen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurvendiskussion
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
