MathProf - Komplexe Funktionen - 3D - Realteil - Imaginärteil - Betrag - Plotter

 

Modul Komplexe Funktionen

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Das Unterprogramm [Komplex] -  Komplexe Funktionen erlaubt es, sich den Realteil, den Imaginärteil oder den Betrag einer komplexen Funktion als Fläche im Raum visualisiert ausgeben zu lassen.

 

 

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von reellwertigen Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Darstellung von
 

• Realteilen Re f(z,p) komplexer Funktionen der Form w = f(z,p) in kartesischen Koordinaten
• Imaginärteilen Im f(z,p) komplexer Funktionen der Form w = f(z,p) in kartesischen Koordinaten
• Beträgen |f(z,p)| komplexer Funktionen der Form w = f(z,p) in kartesischen Koordinaten

• Realteilen Re f(z,p) komplexer Funktionen der Form w = f(z,p) in Polarkoordinaten
• Imaginärteilen Im f(z,p) komplexer Funktionen der Form w = f(z,p) in Polarkoordinaten
• Beträgen |f(z,p)| komplexer Funktionen der Form w = f(z,p) in Polarkoordinaten

Per Voreinstellung werden die Flächendarstellungen der Realteil- und Imaginärteile bzw. des Betrags einer komplexen Funktion in kartesischen Koordinaten ausgegeben. Durch eine Aktivierung der Menüoption Optionen - Darstellung in Polarform können diese bei Bedarf auch in Polarkoordinaten dargestellt werden.
 
Unabhängig von der Wahl der Darstellungsart besteht die Möglichkeit, sich eine oder zwei Flächen darstellen zu lassen.
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1
 

Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   

 
Um sich den Realteil, den Imaginärteil, oder den Betrag einer komplexen Funktion als Fläche im Raum darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
    
2. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung w1 = f1(z,p) = und aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen.
   
   Soll die gemeinsame Darstellung zweier Flächen erfolgen, so ist ein weiterer Funktionsterm im darunter angeordneten Eingabefeld mit der Bezeichnung w2 = f2(z,p) = festzulegen und das zugehörige Kontrollkästchen zu aktivieren.
   
   Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
3. Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Realteil Re f1(z), Imaginärteil Im f1(z) bzw. Betrag |f1(z)| legen Sie fest, welcher Teil (bzw. welche Art) der komplexen Funktion ausgegeben werden soll. Sollen gleichzeitig zwei Funktionen analysiert werden, so führen Sie Entsprechendes für Funktion f2 durch.
    
4. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Darstellungsbereich Re sowie Darstellungsbereich Im die (horizontalen) Darstellungsbereiche fest, über welche die Darstellung der Fläche ausgegeben werden soll. Die Voreinstellung für den vertikalen Darstellungsbereich bemessen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Vert. Darstellungsbereich.
    
5. Enthält wenigstens einer der Funktionsterme das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ... den Startwert, sowie den Endwert des vom reellwertigen Funktionsparameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Funktionsparameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1. Hinweise zur Steuerung des Funktionsparameters P bei automatisch ablaufenden Simulationen finden Sie unter Steuerung des Funktionsparameters P.
   
   Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simul. oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

Hinweise:
Werden Untersuchungen mit Funktionstermen durchgeführt, von welchen keiner das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen wenigstens ein Funktionsterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für den reellwertigen Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.
 
Bei einer gemeinsamen Darstellung zweier Flächen kann durch die Aktivierung der Kontrollkästchen w1 bzw. w2 auf dem Bedienformular gewählt werden, welche dieser eingeblendet werden.
 
Den vertikalen Darstellungsbereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung durch die Positionierung des auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalkens Vert. verändern. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Vert. Darstellungsbereich, auf dem Hauptformular des Unterprogramms, vorgegebenen Werts.
   
Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen von Ortskoordinaten einer derart beschriebenen Fläche innerhalb eines gewählten Bereichs ermöglicht.
 

 
Wird der Menüpunkt Werte - Funktionswerte gewählt und möchten Sie sich die Koordinatenwerte der Fläche innerhalb eines frei wählbaren Wertebereichs ausgeben lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie den Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung w = f(z) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von Re Z = und bis Re Z = sowie Von Im Z = und bis Im Z = den Flächenbereich fest, über welchen Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
    
3. Bestimmen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters, ob die Koordinatenwerte für den Realteil Re f(z), den Imaginärteil Im f(z) oder den Betrag |f(z)| der Funktion ausgegeben werden sollen.
    
4. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind, über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich bei der Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.
 
Hinweis:
Befindet sich im oberen Eingabefeld des Hauptformulars des Unterprogramms bereits eine Funktionsdeklaration, so wird diese in das Eingabefeld des Unterformulars übernommen.
   

 
Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur einer dargestellten Fläche und somit die Analyse von Koordinatenwerten. Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen Re und Im zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Kontur der Fläche steuern können. Die Koordinatenwerte werden an der entsprechenden Position ausgegeben.
 
Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.
   
Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.
   
Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
   
Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I
Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II
   
Es gilt sich die Flächen darstellen zu lassen, welche den Realteil, den Imaginärteil, sowie den Betrag einer komplexen Funktion f(z) = 2·sin(z)+cos(i)/3 visuell beschreiben können.
 
Vorgehensweise:
 
Definieren Sie im Feld w1 = f1(z,p) = den komplexen Term 2*SIN(Z)+COS(I)/3 und aktivieren Sie das zugehörige Kontrollkästchen.
 
Wird vor Ausgabe der grafischen Darstellung der Kontrollschalter Realteil aktiviert, so stellt das Programm die Fläche dar, welche durch Re f(z) = 2·sin(z)+cos(i)/3 beschrieben wird.
 
Bei einer Aktivierung der Kontrollschalter Imaginärteil bzw. Betrag vor Ausgabe der grafischen Darstellung werden nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen diejenigen Gebilde grafisch ausgegeben, welche durch Im f(z) = 2·sin(z)+cos(i)/3 bzw. |f(z)| = 2·sin(z)+cos(i)/3 beschrieben werden.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen oder deren Frageworte die Wörter Welche?, Welcher?, Welches? bzw. Wodurch? sind, beantwortet werden und zugrunde liegende Sachverhalte können einfach erklärt werden.

Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10


Grafische Darstellung - Beispiel 11

    
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion
 

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

Startfenster des Unterprogramms Komplexe Funktionen
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Analyse implizit definierter Funktionen im Raum

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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