MathProf - Ebene - Koordinatenform - Lagebeziehung - Gerade

 

Modul Ebene in Koordinatenform

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Das Unterprogramm [Vektoralgebra] - Ebene in Koordinaten-Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Ebenengleichungen in Koordinatenform (Koordinatengleichung) sowie mit Geraden und Punkten.

 

Ebenengleichung: Unter einer Ebenengleichung wird eine Gleichung verstanden, die eine Ebene im dreidimensionalen Raum im kartestischen Koordinatensystem beschreibt. Ebenen bestehen aus den Punkten eines derartigen Koordinatensystems, deren Koordinatenvektoren die Bedingung der entsprechenden Ebenengleichung erfüllen. Werden die Koordinaten einzelner Ebenenpunkte in einer Gleichung aufgeführt (verwendet), so wird von einer Ebene in Koordinatenform gesprochen.

Werden in einer Gleichung dieser Art die Ortsvektoren einzelner Ebenenpunkte in einer Gleichung eingebunden, so handelt es sich um die Dreipunkteform oder die Parameterform einer Ebenengleichung. Findet der Normalenvektor einer Ebene bei derer Definition Verwendung, so wird von der Normalenform bzw. der Hesseschen Normalenform derer gesprochen.
 
Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Unterprogramms sind:

• Eigenschaftsanalyse einer Ebene in Koordinatenform (Koordinatengleichnung)
• Darstellung einer Ebene in Koordinatenform (sowie eines Punktes, oder einer Geraden)
• Abstand Punkt - Ebene: Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform
• Ermittlung des Schnittpunkts und des Schnittwinkels einer Ebene in Koordinatenform und einer Geraden
• Ermittlung des Abstands einer Geraden zu einer Ebene in Koordinatenform
• Darstellung der Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene in Koordinatenform

 

Definitionsformen von Ebenen und Geraden (Ebenengleichung - Geradengleichung - Formel)

 
Mögliche Definitionsformen von Ebenen und Geraden in diesem Unterprogramm sind:
 

1. Ebene in Koordinatenform (Koordinatengleichung - Parameterfreie Gleichung):

E: a·x + b·y + c·z = d
 

2. Parameterdarstellung einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

 

3. Parameterdarstellung einer Geraden in Zwei-Punkte-Form:

 

Zusammenhänge und Formeln

Formeln zu diesem Fachthema, die für eine Ebene in Normalenform sowie für eine Gerade in Punkt-Richtungs-Form anwendbar sind, sind nachfolgend gezeigt.

 
1. Abstand Punkt - Ebene:

Für den Abstand eines Punktes Q von einer Ebene in Normalen-Form gilt:
 

r_Q: Ortsvektor des Punktes Q

 

2. Abstand einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form von einer Ebene in Normalen-Form:

Für den Abstand einer Gerade in Punkt-Richtungsform von einer Ebene in Normalen-Form gilt:

Gleichung der Gerade:

 

Gleichung der Ebene:

 

 

Der Abstand der Gerade von der Ebene beträgt:
 

3. Abstand zweier paralleler Ebenen:

Definitionsform der Ebene 1:

Definitionsform der Ebene 2:

Der Abstand der Ebene1 von der Ebene2 kann wie folgt berechnet werden:
 

4. Schnittpunkt Ebene - Gerade:

Definitionsform der Gerade:

 
 

Definitionsform der Ebene (Normalenfom):

 

 

Der Schnittpunkt der Ebene und der Gerade kann wie folgt berechnet werden:

Für den Schnittwinkel einer Ebene in Normalenform und einer Gerade in Punkt-Richtungsform gilt:

Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Ebene in Normalenform und die der Gerade in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.
 

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

 
Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E,E1,E2:	Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform
d:	Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung, Abstand einer Geraden vom Koordinatenursprung
n,n1,n2:	Normalenvektor einer Ebene
Sx,Sy,Sz:	Spurpunkte einer Ebene, bzw. Gerade
SP:	Schnittpunkt einer Ebene und einer Gerade, Schnittpunkt zweier Geraden
SW:	Schnittwinkel zweier Ebenen, zweier Geraden, einer Geraden und einer Ebene
g,g1,g2:	Gerade in 2-Punkte- oder Punkt-Richtungs-Form
α,β,γ:	Neigungswinkel einer Geraden bzgl. entspr. Achsen
r,r1,r2:	Ortsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
a,b:	Richtungsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
P,P1,P2,P3:	Punkte
λ;μ:	Parameterwerte für Richtungsvektoren einer Geraden, bzw. einer Ebene
g-E:	Gerade - Ebene
g1-g2:	Gerade 1 - Gerade 2
E1-E2:	Ebene 1 - Ebene 2

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Um eine Ebene, welche in Koordinatenform definiert ist darstellen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:
 

1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
    
2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
    
3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Gleichung der Ebene in die hierfür vorgesehenen Felder a, b, c, und d ein.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 

 
Die Untersuchung einer Ebene auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:
 

1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
    
2. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Gleichung der Ebene in die hierfür vorgesehenen Felder a, b, c, und d ein.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.

Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene in Koordinatenform werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse errechnet:

• Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
• Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
• Normalenvektor n der Ebene
• Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform

 

 

 

Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
    
2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Punkt.
    
3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Gleichung der Ebene in die hierfür vorgesehenen Felder a, b, c, und d ein.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und legen Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern (x,y,z) des Unterformulars fest.
    
5. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
    
6. Möchten Sie sich die Lage des Punktes und der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Soll bei Ausgabe der Darstellung eine Strecke eingezeichnet werden, die vertikal auf der Ebene steht und durch Punkt P verläuft, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Abstandslinie.

 

 

 

Um Schnittpunkt, sowie Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
    
2. Möchten Sie die Lagen einer Ebene in Koordinatenform-Form und einer Geraden in 2-Punkte-Form analysieren, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in 2-P-Form. Um die Lagen einer Ebene in Koordinatenform und einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form zu untersuchen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in P-R-Form.
    
3. Geben Sie die Koeffizientenwerte der Gleichung der Ebene in die hierfür vorgesehenen Felder a, b, c, und d ein.
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
5. Geben Sie die Koeffizientenwerte, bzw. Punktkoordinaten der Vektoren der Geraden in die dafür vorgesehenen Felder im Unterformular ein.
    
6. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
    
7. Möchten Sie sich die Lagen der Gerade sowie der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

Liegen Gerade und Ebene parallel, so ermittelt das Programm deren Abstand.

Hinweis:

Benötigen Sie Detailinformationen bezüglich der Eigenschaften einer Geraden mit welcher Berechnungen durchzuführen sind, so wählen Sie auf dem Eingabeformular zur Definition der Geraden den Menüpunkt Details.

 

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch

• Statisch

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    

2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.
    

 
Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

• Geradenvektoren: Darstellung des Orts- und des Richtungsvektors der Geraden ein-/ausschalten
• N-Vektor d. Ebene: Darstellung des Normalenvektors der Ebene ein-/ausschalten
• Beschriftung: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
• Abstandslinie: Darstellung der vertikalen Abstandslinie zwischen Ebene und Gerade ein-/ausschalten
• Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien der Gerade ein-/ausschalten
• Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

 

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Ebene in 3-Punkte-Form (3D)

Ebene in Normalen-Form (3D)

Ebene - Ebene (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

 

Beispiel 1 - Eigenschaften der Ebene in Koordinatenform (Koordinatengleichnung):

Es gilt, sich die Eigenschaften einer Ebene ausgeben zu lassen, welche durch die Gleichung E: -3·X + 2·Y + 7·Z = 5 in Koordinatenform beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und einer Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Ebene E in Koordinaten-Form, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Die Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

 

Die Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

 

Drei Punkte, die auf der Ebene liegen, sind:

P1 (-1,667 / 0 / 0)

P2 (-1 / 1 / 0)

P3 (0,666 / 0 / 1)

 

Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,635.
 

Die Spurpunkte der Ebene sind:

Sx (-1,667 / 0 / 0)

Sy (0 / 2,5 / 0)

Sz (0 / 0 / 0,714)

 

Der Normalenvektor der Ebene lautet:
 

 

Der Betrag des Normalenvektors der Ebene besitzt den Wert 2,624.
 

Beispiel 2 - Abstand eines Punkts von einer Ebene in Koordinatenform:

Es gilt, den Abstand des Punktes P (1 / 0 / -4) von einer Ebene E in Koordinatenform ermitteln zu lassen, welche durch die Gleichung E: -1·Y - 1·Z = 4 beschrieben wird.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Punkt, der Eingabe der Koeffizientenwerte der Ebene E in Koordinaten-Form und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts im Unterformular, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:

Der Abstand des Punktes P von der Ebene beträgt d = 0. (Punkt liegt auf Ebene)
 

Beispiel 3 - Ebene in Koordinatenform - Gerade in 2-Punkte-Form:

Es ist eine Analyse bzgl. der Lagen einer Ebene E: 4·X - 3·Z = -5 in Koordinatenform und einer Geraden, welche durch die beiden Punkte P1 (2 / 0 / 4)  und P2 (0 / 3 / 0) verläuft, durchzuführen.

Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Gerade in 2-P-Form, der Eingabe der Koeffizientenwerte der Ebene E in Koordinaten-Form, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2 im Unterformular zur Definition der Gerade g, gibt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen aus;

Ebene und Gerade schneiden sich in Punkt SP (2,5 / -0,75 / 5).
Der Schnittwinkel von Ebene und Gerade beträgt 8,543°.

Nach einer Wahl des Menüpunkts Details im Unterformular zur Definition der Geraden erhalten Sie zudem folgende Informationen bzgl. der Eigenschaften, der durch die beiden Punkte P1 und P2 definierten Gerade.

Die Gleichung der Geraden g in vektorieller Schreibweise (Punkt-Richtungs-Form) lautet:

 

 

Die Richtungswinkel der Gerade g sind:

α = 111,801°

β = 56,145°

γ = 137,969°

 

Der Abstand der Gerade g vom Koordinatenursprung beträgt d = 2,491.
 

Die Spurpunkte der Gerade g sind:

Sx (0 / 3 / 0)

Sy (2 / 0 / 4)

Sz (0 / 3 / 0)
 

Die Länge der Strecke zwischen den Geradenpunkten P1 und P2 beträgt 5,385.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Ebenengleichung
Wikipedia - Koordinatenform

Wikipedia - Normalenvektor
Wikipedia - Schnittpunkt einer Gerade und einer Ebene
 

 

Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Ebene in Koordinatenform
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Ebene in 3-Punkte-Form

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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