MathProf - Komplexe DGL - 1. Ordnung - Rechner - Berechnen - Zeichnen

 

Modul Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Komplex] - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv ermöglicht es, die Lösungen von Differenzialgleichungen 1. Ordnung komplexer Zahlen, interaktiv ermitteln zu lassen.

 

 
Hierbei werden die Lösungskurven von Differenzialgleichungen der Form dz/dt = f(z) mit den Startwerten Re(t₀) und Im(t₀) ermittelt. Es handelt sich um DGL der Form:
 

 
Das Programm bietet die Möglichkeit, bis zu 10 verschiedene Startwerte festzulegen und diese u.a. durch Mausbedienung zu verändern.
 
Führen Sie eine interaktive, grafische Analyse zur Ermittlung der Lösungskurven derartiger komplexer DGL 1. Ordnung folgendermaßen durch:
 

1. Definieren Sie den Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung dz/dt = unter Beachtung der geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
2. Bestimmen Sie in den Eingabefeldern Parameter t von t1 = und bis t2 = den zur Ermittlung des entsprechenden Kurvenverlaufs zu verwendenden Wertebereich für Parameter t (voreingestellt: 0 £ t £ 10).
    
3. Legen Sie durch die Fokussurierung des entsprechenden Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein, Sehr fein fest, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel) und bedienen hierauf die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Das Programm gibt zunächst die Lösungskurve für die Startwerte Re(t₀) = 5 und Im(t₀) = 1 aus. Die Lage des Punkts P1 (5 + i) für die Festlegung des zu verwendenden Startwerts können Sie durch entsprechende Positionierung des Mausfangpunkts verändern.
    
5. Sie können weitere Lösungskurven darstellen lassen und hierfür Startwerte mit Hilfe frei positionierbarer Punkte festlegen:
    
   Erzeugen lassen können Sie diese, indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste anklicken. Löschen können Sie einen Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und die rechte Maustaste bedienen.
   
   Möchten Sie Punkte exakt positionieren, so bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
   
   Um die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach oben oder unten, bzw. nach links oder nach rechts.
    
6. Benutzen Sie ggf. den Schieberegler Parameter t, um den zu durchlaufenden Wertebereich für Parameter t zu verändern.
    
7. Enthält der Gleichungsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des reellwertigen Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   
Wurde zur Untersuchung einer Differenzialgleichung kompexer Zahlen 1. Ordnung eine Gleichung erstellt, welche kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

 
Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.



Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Darstellung der Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koord.: Darstellung der Koordinatenwerte der Punkte ein-/ausschalten
• Punktmark.: Darstellung der Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Differenzialgleichungen komplexer Zahlen
   
Es gilt, sich die Lösungskurve einer Differenzialgleichung dieser Art ausgeben zu lassen, welche durch den Term dz/dt = f(z) = 4·sin(-2/10+i)·cos(z/2) beschrieben wird und es ist das Verhalten dieser in Abhängigkeit von Startwerten zu untersuchen.
 
Vorgehensweise:
 
Definieren Sie den Term 4*SIN(-2/10+I)*COS(Z/2) im dafür vorgesehenen Eingabefeld. Legen Sie in den Feldern Parameter t von t1 = und bis t2 = durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte einen zu durchlaufenden Parameterwertebereich 0 £ t £ 10 fest und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Unter der Durchführung von Mausoperationen (Klick in rechteckig umrahmten Mausfangbereich und Bewegung des Mauscursors bei gedrückt gehaltener Maustaste) können Sie die Lage des vorgegebenen Punktes P1 (die Werte der gestellten Anfangsbedingungen Re(t1) und Im(t1) für diesen Punkt) verändern und somit das Verhalten der Kurve untersuchen.
 
Positionieren Sie den Mauscursor an eine beliebige Stelle und führen Sie einen Klick auf die linke Maustaste durch, so stellt das Programm eine zweite Lösungskurve dar. Für die Startwerte zur Ermittlung dieser Lösung der DGL verwendet das Programm zunächst die Koordinatenwerte dieses neu erzeugten Punktes. Um exakte Startwerte festzulegen, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte. Um sich weitere Kurven ausgeben zu lassen, gehen Sie wie zuvor beschrieben vor.
 
Durch eine Bedienung des Rollbalkens Parameter t verändern Sie den voreingestellten (0 £ t £ 10), zu durchlaufenden Parameterwertebereich.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Differentialgleichung
Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion

 

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

Startfenster des Unterprogramms Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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