MathProf - Schnittkurve - Schnittebene - Schnitt - Schneiden - z = f(x,y)

 

Modul Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in expliziter Form

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Unter dem Menüpunkt [3D-Mathematik] -  [Schnittkurven] - Flächen mit Funktion in expliziter Form können Schnittkurven von Gebilden, welche durch Funktionen in expliziter Form beschrieben sind, und einer Ebene dargestellt werden.

 

 

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Darstellung von Kurven, welche durch den Schnitt von Ebenen und Gebilden entstehen. Darzustellende Gebilde können definiert werden durch
 

• Funktionen in expliziter Form, beschrieben durch einen Term der Form z = f(x,y,p)

Ebenen werden durch Gleichungen der Form ax+by+cz = d beschrieben.
 
Das Programm bildet die entstehende Schnittkurve auf dem dargestellten Gebilde ab
und projiziert diese auf die, zu den Koordinatenebenen parallel liegenden, Ebenen.
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1
 

Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 
Um sich Schnittkurven von Ebenen und Gebilden dieser Art grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
    
2. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(x,y,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Um sich die Darstellung des Schnitts eines Gebildes mit einer Ebene ausgeben zu lassen, von welcher die Gleichung bekannt ist, aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittebene mit Gleichung und legen durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder die Koeffizientenwerte a, b, c und d für die Gleichung der Ebene fest.
   
   Möchten Sie interaktive Untersuchungen durchführen und die Koeffizienten der Gleichung der Schnittebene bei Ausgabe der Grafik durch Positionierung von Rollbalken festlegen, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittebene interaktiv.
    
4. Durch eine Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen erreichen Sie:
    
   Kontur oben: Projektion der entstehenden Schnittkurve auf eine oben, parallel zur entsprechenden Koordinatenebene, liegende Ebene
   Kontur unten: Projektion der entstehenden Schnittkurve auf eine unten, parallel zur entsprechenden Koordinatenebene, liegende Ebene
   Kontur an Seitenflächen: Projektion der entstehenden Schnittkurve auf alle seitlich, parallel zur entsprechenden Koordinatenebene, liegenden Ebenen
    
   Eine Deaktivierung des Kontrollkästchens Fläche bewirkt, dass das definierte Gebilde nicht mehr dargestellt wird, sondern lediglich Konturverläufe (Schnittkurven) ausgegeben werden.
    
   Durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Schnittebene legen Sie fest, ob eine Darstellung der definierten Schnittebene erfolgen soll.
    
   Bleibt das Kontrollkästchens Flächenschnitt deaktiviert, so stellt das Programm das gesamte definierte Gebilde dar, ansonsten wird dieses beim Verlauf der Schnittkontur aufgeschnitten.
    
5. Wählen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Z-Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Darstellungsbereich Z fest.
    
6. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder Darstellungsbereich X sowie Darstellungsbereich Y die Darstellungsbereiche fest, über welche die Darstellung der Fläche ausgegeben werden soll.
    
7. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ... den Startwert, sowie den Endwert des vom Funktionsparameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Funktionsparameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1. Hinweise zur Steuerung des Funktionsparameters P bei automatisch ablaufenden Simulationen finden Sie unter Steuerung des Funktionsparameters P.
   
   Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simul. oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
    
8. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
9. Wurde Kontrollschalter Schnittebene interaktiv auf dem Hautformular des Unterprogramms aktiviert, so nutzen Sie die auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Schieberegler a, b, c und d um die Koeffizientenwerte der dargestellten Ebene der Form ax+by+cz = d zu verändern.

Hinweise:
Werden Untersuchungen mit einem Funktionsterm durchgeführt, welcher nicht das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktion), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen ein Funktionsterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.
   
Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen sowie die Ermittlung des Flächeninhalts der Oberfläche einer derart beschriebenen Fläche innerhalb eines gewählten Bereichs ermöglicht. Wird der Menüpunkt Werte - Funktionswerte gewählt und möchten Sie sich die z-Koordinatenwerte der Fläche innerhalb eines frei wählbaren Areals einer (x,y)-Ebene ausgeben lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die Flächenfunktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(x,y) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von x1 = und bis x2 =, sowie Von y1 = und bis y2 = den Flächenbereich fest, über welchen z-Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
    
3. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind, über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

 
Wird der Menüpunkt Werte - Flächeninhalt gewählt und möchten Sie den Inhalt der Oberfläche, der durch die Flächenfunktion beschriebenen Fläche, innerhalb eines frei wählbaren Areals der (x,y)-Ebene näherungsweise ermitteln lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die Flächenfunktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(x,y) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von x1 = und bis x2 = sowie Von y1 = und bis y2 = den Bereich fest, über welchen der Flächeninhalt ermittelt werden soll.
    
3. Wählen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Segmente, mit welcher Genauigkeit diese Berechnungen durchgeführt werden sollen (je mehr Segmente verwendet werden, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen so ermittelt das Programm das Ergebnis.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich bei der Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.
 
Hinweis:
Befindet sich im Eingabefeld des Hauptformulars des Unterprogramms bereits eine Funktionsdeklaration, so wird diese in das Eingabefeld des Unterformulars übernommen.
   

 
Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur einer dargestellten Fläche und somit die Analyse von Koordinatenwerten. Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen X und Y zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Kontur der Fläche in x- wie in y-Richtung steuern können. Die z-Koordinatenwerte werden an der entsprechenden Position ausgegeben.
 
Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.
   
Den Bereich bzgl. der x- und y-Achse, der zur Ausgabe der grafischen Darstellung verwendet werden soll, legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Darstellungsbereich X und Darstellungsbereich Y im Formularbereich Voreinstellung - Darstellungsbereiche X und Y fest. Das Programm benutzt diese Werte, um die räumliche Dimensionierung der Darstellung in x- wie in y-Achsrichtung festzulegen.
 
Bei der Darstellung von Flächen in expliziter Form ermöglicht das Programm die Bemessung des Z-Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch
• Statisch

 

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch, durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm den zur vollständigen Darstellung der Fläche erforderlichen z-Koordinatenwert automatisch.
    
   Um Änderungen dieser Einstellungen bei der Ausgabe der grafischen Darstellung vorzunehmen, steht auf dem Bedienformular der Schalter Bereich zur Verfügung.
   Bedienen Sie diesen und legen Sie im hierauf erscheinenden Eingabeformular die Abmaße des gewünschten räumlichen Darstellungsbereichs bezüglich der x- und der y-Achse, durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Für x und Für y fest.
    
   Temporär kann die Bemessung des z-Darstellungsbereichs geändert (vergrößert) werden. Hierzu ist die Eingabe eines entsprechenden Werts notwendig. Dieser darf nicht unter dem vom Programm (im Eingabefeld) vorgegebenen Mindestwert liegen und wird nur bis zur erstmaligen Beendigung der Ausgabe der Darstellung beibehalten. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Ok wird die Darstellung aktualisiert.
    
2. Statisch:
   Bei einer Aktivierung des Kontrollschalters Statisch stellt das Programm die Fläche innerhalb des gewählten z-Darstellungsbereichs dar und beschneidet diese an Stellen die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den, auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden, Rollbalken Z-Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Darstellungsbereich Z, auf dem Hauptformular des Unterprogramms, vorgegebenen Werts.
    
   Um Änderungen dieser Einstellungen bei Ausgabe der grafischen Darstellung vorzunehmen, steht auf dem Bedienformular der Schalter Bereich zur Verfügung. Legen Sie im hierauf erscheinenden Eingabeformular die Abmaße des gewünschten räumlichen Darstellungsbereichs, durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Für x, Für y und Für z, fest und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok.

   
Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.
   
Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
   
Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D)
Untersuchungen mit Flächen in expliziter Form (3D)
Analyse implizit definierter Funktionen (3D)
Flächenkontur von Flächen in expliziter Form - Variante I
Höhenlinien - Flächenkontur von Flächen in expliziter Form - Variante II
Schnittkurven von Flächen in expliziter Form
 

 
Es gilt, sich den Schnittkurvenverlauf ausgeben zu lassen der entsteht, wenn eine Fläche, beschrieben durch eine Funktion f(x,y) = x²+y²-1 eine Ebene schneidet, welche durch die Gleichung 2·x+3·y-4·z = -2 definiert ist.
 
Vorgehensweise:
 
Wird im Eingabefeld z = f(x,y,p) = der Term X^2+Y^2-1 definiert, wird der Kontrollschalter Schnittebene mit Gleichung aktiviert und werden in die zugehörigen Felder die Werte 2, 3, -4 und -2 eingegeben, so stellt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen die Kurve (rot) dar, welche durch den Schnitt der Fläche z = f(x,y) = x²+y²-1 und der Ebene 2·x+3·y-4·z = -2 beschrieben wird.
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Schnittkurven zu finden. 

 

 

Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung (3D) - Rotation von Kurven in Polarform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Polarform um die Y-Achse (3D) - Untersuchungen mit Flächen in expliziter Form (3D) - Untersuchungen mit Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung - Interaktiv (3D) - Flächen implizit definierter Funktionen (3D) - Konturen implizit definierter Funktionen (3D) - Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Schnittkurven von Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Tangentialebenen von Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in expliziter Form
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Analyse implizit definierter Funktionen im Raum

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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