MathProf - Nichtlineare Gleichungssysteme - Nichtlinear - Nicht linear - System

 

Modul Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter

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Unter dem Menüpunkt [Algebra] - [Sonstige Gleichungssysteme] - Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter können die Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme bis 6. Grades ermittelt werden.

 

 
Da die Lösungen für ein nichtlineares Gleichungssystem meist nur iterativ bestimmbar sind, wurde in diesem Programmpunkt u.a. die sogenannte Levenberg-Methode implementiert, welche mit einer bestimmten Anzahl von Iterationsschritten und der internen Verwendung verschiedener Startvektoren nach einer idealen Näherungslösung hierfür sucht.
 
Mit Verfahren dieser Art können nicht für jedes Gleichungssystem Lösungen gefunden werden. Zudem ist nicht garantiert, dass alle (möglichen) Lösungen eines Systems ermittelt werden können. Das Programm versucht, die Güte gefundener Lösungen unter Bildung von Normen zu beurteilen und gibt relevante Lösungstupel aus. In vielen Fällen werden mehrere Näherungslösungen ausgegeben.
 
Die Anzahl verschiedener, zu verwendender Variablen muss der Anzahl definierter Gleichungen entsprechen. Bei 3 Gleichungen müssen die Variablen U, V und W verwendet werden, bei 4 Gleichungen sind dies die Variablen U, V, W und X, bei 5 Gleichungen die Variablen U, V, W, X und Y und bei 6 Gleichungen die Variablen U, V, W ,X, Y und Z.
 
Das Auffinden entsprechender Lösungstupel kann u.U. sehr zeitaufwendig sein. Der Fortschritt auszuführender Berechnungen kann am Balken der Fortschrittszeige abgelesen werden. Um die Durchführung erforderlicher Berechnungen abzubrechen, bedienen Sie die Taste ESC.
 

Wenden Sie die nachfolgend geschilderte Vorgehensweise an, um nach Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme suchen zu lassen:
 

1. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelems Grad des GS den Grad des Gleichungssystems fest.
    
2. Definieren Sie die Gleichungen gemäß den geltenden Syntaxregeln, in den dafür vorgesehenen Eingabefeldern unter Berücksichtigung der o.a. Variablenbezeichnungen.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Findet das Programm Lösungen für die gestellten Bedingungen, so werden die entsprechenden Tupel in der Tabelle Lösungen ausgegeben.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   
Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter
Lineares Gleichungssystem
Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem
Überbestimmtes lineares Gleichungssystem
Diophantisches Gleichungssystem
Komplexes Gleichungssystem
 
Beispiel 1:

Um nach Lösungen für das nichtlineare Gleichungssystem

2*(U-W) = V-W
W^2/4 = 2*U*(W-V)
2*V-1 = W*U+2

suchen zu lassen, stellen Sie das Steuerelement Grad des GS auf den Wert 3 ein und geben in die dafür zur Verfügung stehenden Felder die entsprechenden Terme ein. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm das Tupel:

u = -0,12505
v = 1,61673
w = -1,86684

Beispiel 2:

Um das nichtlineare Gleichungssystem 5. Grades

2*X+4*Y-3/7*U = U*V-W
W = 2
4*W^2+SIN(W)^2-COS(U) = 2*SQR(X+COS(Y))
SQRT(X^2-Y^2)/2 = 3*U
U+3*TAN(W/2) = 2*(X+W-Y^2)

lösen zu lassen, stellen Sie das Steuerelement Grad des GS auf den Wert 5 ein und geben in die dafür zur Verfügung stehenden Felder die entsprechenden Terme ein. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:
Lösungstupel 1:
 
u = 0,38261
v = 3,56098
w = 2
x = 2,73439
y = -1,48559
 
Lösungstupel 2:
 
u = 0,38261
v = 34,62359
w = 2
x = 2,73439
y = 1,48559

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Nichtlineares Gleichungssystem zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte- Cramersche Regel - Interaktiv - Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter - Diophantisches Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv - Gleichungen - Interaktiv - Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv - Ungleichungen - DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL n-ter Ordnung - Interaktiv - DGL - Gleichungssystem - Interaktiv - DGL 1. Ordnung in Parameterform - DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv - DGL-System 1. Ordnung (3D-Visualisierung) - Vektorfelder - Gradientenfelder - Kommandozeilenrechner - Funktionen komplexer Zahlen - Zahlen III
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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