MathProf - Gleichung - Gleichungen - Funktionsgleichung - Funktionsgleichungen

 

Modul Gleichungen - Interaktiv

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - Gleichungen - Interaktiv lassen sich Lösungen von Gleichungen in explizit definierter Form interaktiv ermitteln.

 

Dieses Modul ermöglicht die Durchführung einer iterativen Lösung von Gleichungen der Form f1(x,p) = f2(x,p), innerhalb eines frei wählbaren Untersuchungsbereichs.

Lösungen von Gleichungen dieser Art sind grafisch als Abszissenkoordinatenwerte der Schnittpunkte der links- und rechtsseitig definierten Gleichungsterme zu interpretieren.
 

Eine interaktive Suche nach Gleichungslösungen können Sie veranlassen, indem Sie Folgendes ausführen:
 

1. Geben Sie den, gemäß den geltenden Syntaxregeln formulierten, linken Gleichungsterm (linke Gleichungsseite) im Feld mit der Bezeichnung f1(x,p) = ein.
   
   Definieren Sie den rechten Gleichungsterm (rechte Gleichungsseite) im Feld mit der Bezeichnung f2(x,p) =. Beachten Sie auch hierbei die geltenden Syntaxregeln.
   
   Um eine Parameterwertsimulation (-analyse) mit einem Parameter P zu ermöglichen, muss die Deklaration eines Funktionsterms das Einzelzeichen P enthalten!
    
2. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
3. Definieren Sie den zum Auffinden von Gleichungslösungen zu analysierenden Bereich, indem Sie in die rechteckig umrahmten Mausfangbereiche klicken und bewegen Sie den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse (voreingestellt: -10 £ x £ 10).
    
4. Wird das Kontrollkästchen Li. Gleichungsseite aktiviert, so wird die linksseitig definierte Funktion f1(x,p) ausgegeben. Wird das Kontrollkästchen Re. Gleichungsseite aktiviert, so wird die rechtsseitig definierte Funktion f2(x,p) dargestellt.
   
   Wenn Sie das Kontrollkästchen Beide Gleichungsseiten aktivieren, so wird (zusätzlich) die Funktion f(x,p) = f1(x,p) - f2(x,p) ausgegeben.
    
5. Möchten Sie die Koordinatenwerte des Untersuchungsbereichs exakt positionieren, so können Sie die Schaltfläche Bereich auf dem Bedienformular drücken und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen (je schmaler der gewählte Bereich, desto exakter sind die Ergebnisse).
    
6. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
   
   Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:
Aufgefundene Gleichungslösungen werden mit der Bezeichnung L, sowie einem fortlaufenden Nummer-Index gekennzeichnet.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 
Wurden zum Auffinden von Gleichungslösungen Funktionsterme erstellt, von welchen keiner dieser das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
 

 
Enthält einer der erstellten Funktionsterme das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Lösungen: Markierung und Nummerierung von Gleichungslösungen ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten ermittelter Gleichungslösungen ein-/ausschalten
• Bereich: Untersuchungsbereichsmarkierung ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Gleichungen
Funktionsschnittpunkte
Funktionsschnittpunkte - Interaktiv
Gleichungen 2.- 4. Grades
Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv
   
Beispiel 1:
 
Es gilt, die Lösungen der Gleichung -3·(x⁴+16·x²)/(2·x⁴+10)+2 = (x+5)²/10-2 innerhalb eines Untersuchungsbereichs -10 £ x £ 10 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Deklaration der Funktionen f1(x) = -3*(X^4+16*X^2)/(2*X^4+10)+2 und f2(x) = (X+5)^2/10-2 in den entsprechenden Eingabefeldern und einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen, ermittelt und markiert das Programm innerhalb des vordefinierten Untersuchungsbereichs -10 £ x £ 10 die folgenden Lösungen der definierten Gleichung:
 
L1: x = -0,741
L2: x = 3,195
L3: x = -0,669
L4: x = 0,46
 
Hinweis:
Bei einer Aktivierung des Kontrollkästchens Beide Gleichungsseiten wird die Funktion
 
f(x) = -3*(X^4+16*X^2)/(2*X^4+10)+2-((X+5)^2/10-2)
 
(zusätzlich) dargestellt, da nach einer Umstellung und Auflösung der Gleichung
- 3·(x⁴+16·x²)/(2·x⁴+10)+2 = (x+5)²/10-2 nach 0, die Gleichung
-3·(x⁴+16·x²)/(2·x⁴+10)+2-((x+5)²/10-2) = 0 resultiert.
 
Beispiel 2:
 
Es ist nach Lösungen, für die algebraisch nicht lösbare, Gleichung -2·cos(-5+sin(x²/20)) = x/10·(1+sin(x/5))-1/2 innerhalb eines Untersuchungsbereichs -10 £ x £ 10 zu suchen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Deklaration der Terme f1(x) = -2*COS(-5+SIN(X^2/20)) und f2(x) = X/10*(1+SIN(X/5))-1/2 in den entsprechenden Eingabefeldern und einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen, findet das Programm innerhalb des vordefinierten Untersuchungsbereichs -10 £ x £ 10 die folgenden Lösungen und markiert diese:
 
L1: x = -7,88246
L2: x = 0,49032
L3: x = 1,77452
L4: x = 6,82356
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Gleichung zu finden.

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte- Cramersche Regel - Interaktiv - Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter - Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter - Diophantisches Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv - Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv - Ungleichungen - DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL n-ter Ordnung - Interaktiv - DGL - Gleichungssystem - Interaktiv - DGL 1. Ordnung in Parameterform - DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv - DGL-System 1. Ordnung (3D-Visualisierung) - Vektorfelder - Gradientenfelder - Kommandozeilenrechner - Funktionen komplexer Zahlen - Zahlen III
 

 

Startfenster des Unterprogramms Gleichungen - Interaktiv
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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