MathProf - Polynomregression - Näherungspolynom - Rechner

 

Modul Polynomregression - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Interpolation und Polynomregression] - Polynomregression - Interaktiv ermöglicht die interaktive Auffindung von Näherungspolynomen bis 7. Grades, welche durch mindestens 3 Stützstellen beschrieben werden.
 
Konkret bedeutet dies, dass das Programm die Parameter einer Funktionsgleichung des Polynoms ermittelt, dessen Grad höher sein kann als die Anzahl (n-1) verwendeter Stützstellen, was mit den Verfahren Interpolation nach Lagrange bzw. Interpolation nach Newton nicht möglich ist. Bei Bedarf führt es zudem eine Kurvendiskussion mit dem ermittelten Polynom durch.
 

 

Möchten Sie eine Polynomregression interaktiv durchführen lassen, so führen Sie hierzu Folgendes aus:
 

1. Wählen Sie durch Bedienung des Steuerelements Funktionsgrad den Grad des zu ermittelnden Polynoms.
    
2. Erzeugen können Sie Punkte, indem Sie den Mauscursor an der gewünschten Stelle positionieren und die linke Maustaste anklicken. Wurden bereits n+1 (Funktionsgrad+1) Punkte erzeugt, wird der Befehl ignoriert. Löschen können Sie einen Punkt, indem Sie den Cursor in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich des Punktes setzen und die rechte Maustaste bedienen.
    
3. Um die Koordinatenwerte einzelner Punkte zu verwenden, können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
4. Sollen die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
5. Legen Sie durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung oder 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung bzw. der 2. Ableitung der ermittelten Funktion ausgegeben werden soll.
    
6. Durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema bzw. Wendepunkte legen Sie fest, ob eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durchgeführt werden soll.
   
   Möchten Sie den zur Durchführung einer Kurvendiskussion festgelegten Untersuchungsbereich mit der Maus verändern, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
7. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden nach Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens angezeigt:
 

• Nullstellen der ermittelten Funktion (N: Nullstelle)
• Extrema der ermittelten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)
• Wendepunkte der ermittelten Funktion (W: Wendepunkt)

Beachten Sie:
Kein Abszissenwert darf mehrmals verwendet werden.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   

 

Es wird nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie u.a. den Funktionsgrad zur Ermittlung von Polynomkoeffizienten festlegen können.
 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:
 

• Beschriftung: Markierung und Nummerierung der Stützpunkte und der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Stützpunkte und der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Polynomregression
Interpolation nach Newton und Lagrange
Interpolation nach Newton - Interaktiv
Interpolation nach Lagrange- Interaktiv
Kurvendiskussion
 
Um ein Näherungspolynom 3. Grades bestimmen zu lassen, welches durch die drei Stützpunkte P1 (-6 / 1), P2 (6 / -1) und P3 (12 / 2) beschrieben wird, stellen Sie das Steuerelement Funktionsgrad auf den Wert 3 ein. Hierauf bedienen Sie die Schaltfläche Punkte und geben die Koordinatenwerte der Punkte P1 - P3 ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Ok ermittelt das Programm für das gesuchte Näherungspolynom den Term:

f(x) = 0,0030332·X³ +0,000638·X² - 0,2758629·X - 0,0229778

Ist ein Näherungspolynom 2. Grades aus den gegebenen Punkten zu ermitteln, so belassen Sie alle Stützpunkte an deren bisherigen Positionen und stellen das Steuerelement Funktionsgrad auf den Wert 2 ein. Das Programm ermittelt für die 3 Stützpunkte P1 (-6 / 1), P2 (6 / -1) und P3 (12 /2) das Näherungspolynom:

f(x) = 0,037037·X² - 0,166666·X - 1,33333

Soll ein Näherungspolynom 6. Grades aus den gegebenen Punkten ermittelt werden, belassen Sie alle Stützpunkte an deren bisherigen Positionen und stellen das Steuerelement Funktionsgrad auf den Wert 6 ein. Das Programm ermittelt für die 3 Stützpunkte P1 (-6  / 1), P2 (6 / -1) und P3 (12 / 2) das Näherungspolynom:

f(x) = 0,0000150655·X⁶ - 0,000127246·X⁵ - 0,000541835·X⁴ - 0,0000487223·X³ +0,0000188166·X² - 0,0000016672·X - 0,000000548833

Um hierauf ein Näherungspolynom 6. Grades aus den gegebenen und zwei zusätzlichen Punkten ermitteln zu lassen, belassen Sie alle Stützpunkte an deren bisherigen Positionen und das Steuerelement Funktionsgrad auf dem Wert 6.

Positionieren Sie den Mauscursor an einer beliebigen Stelle innerhalb des Darstellungsbereichs und klicken Sie die linke Maustaste an. Ein weiterer Stützpunkt wird erzeugt. Wiederholen Sie diesen Vorgang einmal.

Somit wurden zwei Stützpunkte erzeugt. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Punkte und legen Sie für die beiden neu erzeugten Punkte die Koordinatenwerte P4 (-2 / 0) und P5 (5 / 1) fest, so gibt das Programm für das ermittelte Näherungspolynom 6. Grades (nun ermittelt aus den 5 Stützpunkten P1 (-6 / 1), P2 (6 / -1), P3 (12 / 2), P4 (-2 / 0) und P5 (5 / 1)) aus:

f(x) = 0,000130559·X⁶ - 0,00130364·X⁵ - 0,007241137·X⁴ + 0,042667629·X³ +0,09102017·X² - 0,01318105·X + 0,0166878

Wird mit dem oben beschriebenen Näherungspolynom 3. Grades f(x) = 0,0030332·X³ +0,000638·X² - 0,2758629·X - 0,0229778 eine Kurvendiskussion durchgeführt und werden hierbei die Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema sowie Wendepunkte aktiviert, so gibt das Programm für den voreingestellten Untersuchungbereich -10 £ x £ 10 aus:

Nullstellen:

N1 (-9,601 / 0)    
N2 (9,474/ 0)    
N3 (-0,083/ 0)

Extrema:  

HP (-5,577 / 1,009)
TP (5,436 / -1,016)    

Wendepunkt:    

W (-0,007 / -0,004)   
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Polynominterpolation zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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